Всем привет!
Продолжаем разбирать задачи 55-го уральского турнира юных математиков. Все геометрические задачи турнира можно посмотреть тут. За публикациями можно следить на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Сегодня разбираем первую из двух задач с командной олимпиады 8-го класса.
Эта довольно классическая задача на композицию поворотов, хотя она, конечно, допускает и иные, более элементарные решения (в которых поворот все равно по делу). Давайте посмотрим на оба подхода.
Первое, что следует в любом случае отметить, что точка M на отрезке BE такая, что угол MGC равен 60 градусов существует не более чем одна. При движении точки M в сторону B угол увеличивается... Поэтому достаточно доказывать, что если M это середина, то угол равен 60-ти градусам.
Решение с композициями поворотов
Рассмотрим три поворота.
Первый: с центром в точке G, на угол 120 градусов, переводящий точку E в точку A.
Второй: с центром в точке C, на угол 60 градусов, переводящий точку A в точку B.
Третий : с центром в точке M, на угол 180 градусов, переводящий точку B в точку E.
Сумма углов поворотов равна 360 градусов, значит их композиция является параллельным переносом, но точка E после выполнения трех поворотов остается на месте, значит указанная композиция является тождественным преобразованием.
Если же три поворота в композиции дают тождественное преобразование, то углы треугольника из центров равны половинам углов поворотов, то есть в нашем случае 60, 30 и 90 градусов. Значит угол MGC равен 60 градусов.
Вот в этом видео с сириусовской дистанционки разбирается практически идентичная задача, разве что точки расположены чуть иначе.
Решение без композиции поворотов
Решении без композиции поворотов тем не менее по существу использует поворот, ну или дополнительное построение с поворотом, на который всегда есть намек как только в задаче есть правильный треугольник. Давайте сделаем поворот с центром в точке C на 60 градусов. Проследим за маленьким треугольничком AFE и его центром G. Точка A переходит в точку B, а про точки F, E и G предположим, что они переходят в точки F', E' и G'. Отрезки GE и G'B параллельны и равны, поэтому четырехугольник GEG'B является параллелограммом и его диагонали делятся в точке пересечения пополам. То есть точка M является и серединой стороны GG' равностороннего треугольника CGG'. Значит угол MGC равен 60 градусов.
Ясно, что в этом решении доказано значительно больше. И в этом смысле решение можно существенно упростить, сведя его просто к свойствам параллелограмма и средней линии.
