Величайшие теории. Гёдель
Кратко: теоремы о неполноте
Логик и мыслитель XX века, о котором сегодня представлено немного информации, был стеснительным и замкнутым гением.
Странный, с маниакально-депрессивным синдромом, со страхом болезней, Гёдель стремился к одиночеству, опасаясь людей в целом.
Его работы, идеи, мысли - бессмертны. Они изучаются и анализируются сейчас, а также будут актуальны еще на протяжении многих веков.
Все началось с бесконечности, потенциальной и актуальной. Кантором было опровергнуто понятие абсурдности по отношению к последней, и предложена теория множеств, которая вылилась в континуум-гипотезу, частично проработанную Гёделем.
Ученый доказал,что любое рассуждение можно осуществить, используя только 12 логических правил из потенциально бесконечного количества (теорема о полноте). Загрузив в память компьютера эти 12 правил, можно будет механически проверить правильность арифметических доказательств.
Проблемой стал поиск множества аксиом, которое доказывало бы все арифметические истины, основываясь на этих 12 правилах. Цель оказалась недостижимой.
Теорема, в которой изложена эта невозможность и стала первой теоремой о неполноте - всегда будут истинные утверждения, которые невозможно доказать на основе предложенных аксиом.
Вторая - если предложенные аксиомы позволяют доказать довольно обширную часть арифметических истин, то невозможно проверить их непротиворечивость механическими методами.
Эти теоремы - классика математического рассуждения для гипотетического алгоритма, вычисляющего истинность или ложность.
Существует синтаксическая (символьная) и семантическая (смысловая) трактовка любого выражения, которое доказывается. Смысловая не может быть пока доказана механически, с помощью алгоритма и компьютера.
Возможно, все наши аксиомы истинны только в контексте Вселенной, в которой мы сейчас находимся. В синтаксическом мире понятий истинности и ложности не существует.
Основываясь на философских аргументах, Гёдель считал ложной континуум-гипотезу. В последних работах логик принял платонизм как правильную позицию философии математики. Теоремы о неполноте доказывают справедливость платонистической точки зрения, в отличие от формализма.
Обе позиции существуют в математической мысли параллельно друг другу.
