Встречайте вторую статью по рациональным уравнениям из 13 задания профильного ЕГЭ.
Не пренебрегайте решением рациональных уравнений, методы их решений понадобятся при решении более сложных уравнений и неравенств, а также при решении различных задач из 11 и 17 заданий.
Конечно, без стабильного навыка решения любого (!) уравнения не стоит даже приступать к заданию 18 (с параметрами).
Рациональные уравнения. Замена переменных. Метод введения двух новых неизвестных
Пример 1. В этом уравнении наряду с неизвестной х мы вводим вторую неизвестную y. После алгебраических преобразований получаем дробь, равную нулю, числитель которой легко раскладывается на два множителя. Приравниваем эти множители поочередно нулю (знаменатель при этом не равен 0). В итоге имеем два квадратных уравнения.
Теперь довести решение до ответа можно стандартным способом.
___________________________________________________________________________________
Пример 2. Данное уравнение можно попытаться разложить на множители и в исходном виде, но это достаточно сложно. Поэтому введем две новые неизвестные a и b, после чего разложение становится простым. Приравнивая получившиеся множители к нулю, видим, что один из них не дает нам решений, а во втором случае получаем разность квадратов, которую легко преобразовать далее и получить ответ.
Пример 3. Уравнение решается аналогично предыдущему.
___________________________________________________________________________________
Пример 4. Снова применим тот же метод.
Заметим, что в данном случае решение можно угадать. Но ! угаданный ответ не доказывает отсутствие других решений.
Поэтому вводим две неизвестные, которые связаны друг с другом простым соотношением b — a = 2. Используя это соотношение, преобразовываем уравнение.
После преобразований мы ввели еще одну переменную y = ab, что окончательно упростило задачу. Осталось решить два простых уравнения, второе из которых решений не имеет (дискриминант отрицательный).
___________________________________________________________________________________
В следующей статье из серии «Уравнения» мы рассмотрим решение уравнений с модулями.