При каком наименьшем n существуют n чисел из интервала (−1; 1), таких, что их сумма равна 0, а сумма их квадратов равна 30?
Задача была предложена 2 февраля 2020 года на Объединённой межвузовской математической олимпиаде.
Давайте сначала приведём пример для n=32.
Пусть x[1]=x[2]=...=x[16]=a, x[17]=x[18]=...=x[32]=-a.
Тогда сумма, очевидно, равна нулю, а условие на сумму квадратов приводится к уравнению 32a^2=30. Его решение a=sqrt(15)/4 по модулю меньше единицы.
Теперь объясним, почему при n=30 не получится. Так как числа из интервала (-1,1), то x[k]^2<|x[k]|<1 при всех k. Значит, сумма тридцати квадратов будет меньше 30*1=30.
Остался интересный случай n=31.
Докажем, что и в этом случае не получится, даже если числа принадлежат отрезку [-1;1].
Метод 1 (метод Штурма).
Пусть среди чисел x[1], x[2], ..., x[31] есть числа, равные a и b, которые по модулю не равны 1 (т.е. не 1 и не -1).
Заменим тогда в наборе числа a и b на числа 1 и a+b-1, если a+b>=0.
Тогда сумма не изменится. Посмотрим на сумму квадратов:
1^2+(a+b-1)^2=(a^2+b^2)+2-2a-2b+2ab=(a^2+b^2)+2(1-a)(1-b)>(a^2+b^2).
О! Сумма квадратов увеличилась!
А что делать, если a+b<0 ?
Тогда заменим a и b на числа -1 и a+b+1 и опять посмотрим на сумму квадратов:
(-1)^2+(a+b+1)^2=(a^2+b^2)+2+2a+2b+2ab=(a^2+b^2)+2(1+a)(1+b)>(a^2+b^2).
О! И тут сумма квадратов увеличилась!
Будем заменять так или сяк, пока 30 чисел не станут равны 1 или -1 (назовём их количество c и d соответственно). Про 31-е число мы пока что ничего не знаем, назовём его z.
В итоге сумма чисел будет равна c-d+z=0. Видим, что дробная часть числа z равна нулю. Значит, z=0, z=1 или z=-1. Чтобы было равенство, необходимо, чтобы было c=15, d=15, z=0.
Т.е. сумма квадратов будет максимальна при наборе
1,1,...,1,0,-1,-,1...,-1,
где единиц и минус единиц по 15 штук.
Но мы выше предположили, что числа меняются в пределах [-1;1], а они по условию задачи меняются в пределах (-1;1). Поэтому сумма квадратов не может быть равна 30. Значит, не существует 31 числа, удовлетворяющего условиям задачи.
Метод 2 (неравенство Караматы).
Вспомним теорему югославского математика Караматы.
Пусть f(x) - выпуклая функция на отрезке [a;b];
Наборы x[1]>=x[2]>=...>=x[k] и y[1]>=y[2]>=...>y[k] таковы, что все иксы и игреки лежат на отрезке [a;b].
Пусть верна ещё и цепочка (не)равенств:
x[1]>=y[1];
x[1]+x[2]>=y[1]+y[2];
...
x[1]+x[2]+...+x[k-1]>y[1]+y[2]+...+y[k-1];
x[1]+x[2]+...+x[k-1]+x[k]=y[1]+y[2]+...+y[k-1]+y[k].
(Про такое условие говорят, что набор иксов мажорирует набор игреков.)
Тогда
f(x[1])+f(x[2])+...+f(x[k])>=f(y[1])+f(y[2])+...f(y[k]).
Применим эту замечательную теорему к функции y=x^2 на отрезке [-1;1] (она, очевидно, выпуклая не только на этом отрезке, а на всей числовой прямой).
Проверим, что набор
1,1,...,1,0,-1,-1,...,-1 (по 15 единиц)
мажорирует любой набор из 31 икса, сумма которых равна нулю.
1) 1>=x[1];
2) 1+1>=x[1]+x[2];
...
15) 1+...+1>=x[1]+x[2]+...+x[15];
16) 1+...+1+0>=x[1]+x[2]+...x[15]+x[16]
(понятно, что сумма шестнадцати иксов не превышает 15, потому что остальные (даже если отрицательные) иксы не меньше -15);
17) 1+...+1+0+(-1)>= x[1]+x[2]+...x[15]+x[16]+x[17]
(понятно, что сумма семнадцати иксов не превышает 14, потому что остальные (даже если отрицательные) иксы не меньше -14);
...
Аналогичный комментарий будет и для остальных неравенств цепочки.
Заметим, что мажорирующий набор имеет сумму квадратов, равную 30. Но это невозможно по условию задачи, потому что все иксы по модулю меньше единицы.
