Злой дядька

Вчера состоялась лекция Алексея Алексеевича Гиппиуса про находки этого года. Речь шла не только про берестяные грамоты, найденные на Дмитровском и Воздвиженском раскопах в Великом Новгороде, но и про костяную грамоту, найденную на Троицком раскопе. Запись лекции можно посмотреть на youtube-канале Института славяноведения РАН https://www...

Даны два натуральных числа m и n. Найдите наименьшее натуральное число k такое, что среди любых k людей либо найдутся 2m людей, которые образуют m взаимно знакомых пар, либо найдутся 2n людей, которые образуют n взаимно незнакомых пар. Эта задача была предложена на Азиатско-Тихоокеанской олимпиаде в 2003 году. Ответ: 2(m+n)-min{m,n}-1. Эта задача является одной из задач теории графов. А точнее, той её части, которая изучает числа Рамсея. Обозначим наименьшее натуральное число k, удовлетворяющее условию задачи, через r(m,n). Докажем, что r(m,n)=2(m+n)-min{m,n}-1. Легко понять, что r(m,n)=r(n,m)...

В 1969 году на Московской математической олимпиаде школьникам была предложена задача про президента, который пользуется поддержкой лишь одного процента населения, но хочет победить на демократических выборах. Эта же задача получила №1 в Задачнике "Кванта". В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов...

В 1995 году на финале Всероссийской олимпиады школьников десятиклассникам была предложена задача Решите уравнение cos(cos(cos(cos(x))))=sin(sin(sin(sin x))). Авторы задачи - В.А. Сендеров и И.В. Ященко. Выглядит задача страшно, но если аккуратно рассматривать четверти, в которых лежит x, становится легче...