Злой дядька

Какое наибольшее число точек можно расположить на плоскости так, чтобы расстояния между любыми двумя различными точками были одинаковы? Легко понять, что нам подойдут три точки, образующие правильный треугольник, а четвёртую точку добавить не получается. А сколько точек можно расположить на плоскости, чтобы расстояния между точками могли принимать не одно, а два различных значение? На плоскости нам подойдёт в качестве примера правильный пятиугольник. А в трёхмерном пространстве? А в произвольном...

Вчера состоялась лекция Алексея Алексеевича Гиппиуса про находки этого года. Речь шла не только про берестяные грамоты, найденные на Дмитровском и Воздвиженском раскопах в Великом Новгороде, но и про костяную грамоту, найденную на Троицком раскопе. Запись лекции можно посмотреть на youtube-канале Института славяноведения РАН https://www...

Даны два натуральных числа m и n. Найдите наименьшее натуральное число k такое, что среди любых k людей либо найдутся 2m людей, которые образуют m взаимно знакомых пар, либо найдутся 2n людей, которые образуют n взаимно незнакомых пар. Эта задача была предложена на Азиатско-Тихоокеанской олимпиаде в 2003 году. Ответ: 2(m+n)-min{m,n}-1. Эта задача является одной из задач теории графов. А точнее, той её части, которая изучает числа Рамсея. Обозначим наименьшее натуральное число k, удовлетворяющее условию задачи, через r(m,n). Докажем, что r(m,n)=2(m+n)-min{m,n}-1. Легко понять, что r(m,n)=r(n,m)...

В 1969 году на Московской математической олимпиаде школьникам была предложена задача про президента, который пользуется поддержкой лишь одного процента населения, но хочет победить на демократических выборах. Эта же задача получила №1 в Задачнике "Кванта". В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов...

В некрополе во французском Отёне археологи обнаружили редкую вазу, выполненную в очень изысканном стиле из сетчатого стекла. Ваза имеет размеры 120 мм в высоту и 160 мм в диаметре. Она повреждена, но все осколки удалось найти и, в настоящее время реставраторы заняты ее восстановлением. Ваза украшена рельефной надписью на латыни Vivas feliciter (Живите счастливо). Вазу будут хранить вдали от света в жестких условиях, чтобы максимально точно исследовать ее. Это первый целый образец, обнаруженный в Галлии...

В 1995 году на финале Всероссийской олимпиады школьников десятиклассникам была предложена задача Решите уравнение cos(cos(cos(cos(x))))=sin(sin(sin(sin x))). Авторы задачи - В.А. Сендеров и И.В. Ященко. Выглядит задача страшно, но если аккуратно рассматривать четверти, в которых лежит x, становится легче...

Вышел из печати сборник "Археологические вести. Выпуск 28". Он посвящён памяти выдающегося исследователя в области средневековой археологии и истории Северной Руси и Балтийского региона Евгения Николаевича Носова (21...

В 1961 году Эрдёшу, Гинзбургу и Зиву удалось доказать красивейшее утверждение. Из любых (2n-1) целых чисел можно выбрать n, сумма которых делится на n. Сейчас существует несколько доказательств этой теоремы. Приведём одно из них. Начнём с леммы, позволяющей доказывать утверждение только для простых чисел...

В Белоруссии есть два "берестяных" города - Витебск и Мстиславль в Могилевской области. Единственная целиком сохранившаяся грамота, найденная на территории Белоруссии, была случайно обнаружена рабочим...

В Смоленске, не смотря на позднюю осень, археологи продолжают свою работу. На улице Соболева ученые обнаружили уникальный древний перстень с княжеской печатью. Он мог принадлежать высокопоставленному чиновнику, который работал в ювелирном квартале Смоленска...

Во время раскопок 2020 года в Старой Рязани археологи обнаружили усадьбы двух соседей-ювелиров, разрушенные в первой половине XIII века. Пинцет ювелира из комплекса мастерской Южной усадьбы Современный...

Все три берестяные грамоты с надписями, которые были найдены на территории современной Украины, были обнаружены 1988-89 годах экспедицией под руководством И.К. Свешникова на раскопках в Львовской области в селе на месте древнерусского города Звенигорода...