Уже несколько дней мы живем в новом году и, мне кажется, многие начинают понимать, что новый год, день, месяц не приносят никаких изменений. Само по себе течение времени не в силах поменять что-то в жизни человеческой, тем не менее, люди стремятся отмечать смену отрезков времени. Это удобно, когда время разделено на периоды, они позволяют нам видеть пройденный путь и отмечать результаты.
Длинные каникулы наводят на чрезвычайно меланхолические рассуждения. Хорошо, что есть на что отвлечься. Периоды, говорите, давайте посмотрим.
Наверное многие выпускники школ, особенно те, кто не особо ладил с математикой, с содроганием вспоминают это ужасное, тяжелое слово - тригонометрия. Еще ничего не зная про нее, многие дети тяжело вздыхают лишь услышав название. Ведь там опять что-то из геометрии, а это никогда не бывает просто. (Никогда с этим не смирюсь.)
Но какие пучины отчаяния и непонимания их ждут впереди? Бесконечные формулы, работа с которыми похожа на жонглирование горящими факелами. Один неверный шаг и безобидное выражение породит настоящего монстра. (Можно, да? Зовите Ведьмака! Простите, не удержалась.)
Но самый большой кошмар начинается при решении тригонометрических уравнений. Вдруг, откуда-то вылезает непонятная приписка +2pi*n. Что это? Откуда? Как такое возможно? Период?! Все хватит, ухожу в гуманитарии.
Да, тригонометрические функции один из примеров функций периодических, которые вообще-то простые и безобидные. Что может быть легче, чем функция, которая постоянно повторятся? Только постоянная функция, которая, кстати, тоже периодическая.
Будем, пожалуй, последовательны и дадим определение.
Простенько и со вкусом. Добавим также, что для любой периодической функции можно назвать не один период, а любое число вида n*T, где n любое натуральное число. Чаще всего периодом называют наименьшее положительное число такого вида.
Это даже немного скучно. Но есть здесь и кое-что поинтересней. Это функция, у которой периодом является любое рациональное число. Как такое может быть?
Представляю вам функцию Дирихле. Она равна единице для всех рациональных чисел и нулю, для иррациональных. Хотите посмотреть на график? Пожалуйста.
Нет, это не две прямые. Да, я знаю, что это выглядит как две прямые, но это не они. То есть на самом деле, конечно, они. Но график функции Дирихле разрывен в каждой точке. Это связано с тем, что между любыми двумя рациональными числами есть число иррациональное. Но так как рациональные числа находятся очень близко друг к другу, то мы всегда будем видеть только две прямые. Как ни печально это признавать.
У этой истории есть продолжение: функция Римана, которая непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна по всех рациональных.
Думаю вы заметили, что эта функция также является периодической. Хотя в данном случае, это не самое главное.
Думаете, уже всё? А как же почти периодические функции или двоякопериодические?
Возможно, вы и правы, этот разговор стоит отложить на потом.