На радость восьмиклассникам расскажем про универсальный набор, который поможет справиться с любой задачей про трапецию. Заодно докажем признаки и свойства равнобедренной трапеции.
Проведите прямую, параллельную стороне
Задача: докажите, что в равнобедренной трапеции углы при основании равны.
Проведем СЕ. СЕВD — параллелограмм. АСЕ — равнобедренный треугольник. Отсюда следует равенство углов.
Это построение пригодится, если в задаче есть разность оснований трапеций, она тут есть — отрезок AE.
Продлите боковые стороны до пересечения
Задача: докажите, что если в трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.
Продлим стороны до пересечения. AFB — равнобедренный треугольник, CFD — тоже. Значит AC=BD
Опустите высоты
Задача: в равнобедренной трапеции равны диагонали.
Опустим высоты. Треугольники ACI и BDH равны по гипотенузе и острому углу. AI=BH, значит AH=BI. Значит треугольники ADH и CBI равны по двум катетам. Отсюда AD = BC.
Проведите прямую, параллельную диагонали
Задача: если в трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.
Проведем DG параллельно CB. Из равнобедренности треугольника ADG получим равенство углов ∠DAB=∠DGB=∠DCB=∠ADC. Пусть диагонали пересекаются в точке О. Треугольники ABO и CDO — равнобедренные, значит треугольники ACO и BDO — равные, то есть AC = BD.
Это построение пригодится, если в задаче есть сумма оснований трапеций, она тут есть — отрезок AG.
Проведите прямую через вершину и середину боковой стороны
Задача: разрежьте трапецию на две части, из которых можно сложить треугольник.
Решение на чертеже. Треугольники CDJ и BJK равны по стороне и прилежащим к ней углам. Значит, мы разрезали трапецию по отрезку CJ и собрали треугольник ACK.
Комментарий для учителя
Задачи в этой статье собраны не случайно. Сначала решаем с учениками предложенные задачи разными способами. А потом спрашиваем их самих: «ну что, какие мы использовали дополнительные построения для трапеции?».
Пусть школьники сами вспомнят все 5 построений и нарисуют их на доске или плакате. В дальнейшем начинайте решение с вопроса: «Какое построение лучше применить?»
Иллюстрации построены в программе Geogebra, рекомендую.
Вопросы — в комментарии.
Задачки посложнее — в Телеграм-канале.
