Роджер Пенроуз доказал в 1965 году свою знаменитую теорему о сингулярности. Давайте взглянем на этот результат.
И. Новиков вспоминает, что сам думал на эту тему и был восхищен изящным доказательством, найденным Пенроузом, и жалел, что не придумал его сам. Драматичность ситуации заключалась вот в чем: когда стало ясно, что достаточно большая компактная масса (достаточно крупная звезда, например) неизбежно коллапсирует, то возникала сингулярность, а сингулярности никто не любит. Я немного рассказывал про это. В попытках спасти ситуацию от сингулярности, была выдвинута такая идея: сингулярность есть следствие симметрии.
Представим себе сжимающийся шар: пусть с него испаряются, секунда за секундой, слои одной толщины. Шар при этом останется шаром, но убывающего радиуса. В итоге он станет точкой, которая либо не шар (в зависимости от определения), либо шар, но бесконечной кривизны. Сингулярность!
То же верно, например, для тора. Тор выродится в окружность, которая либо не тор, либо тор бесконечной кривизны.
А вот эллипсоид, симметрия которого ниже, будет меняться (перестав быть, строго говоря, эллипсоидом), пока не возникнет острие (или два острия): там кривизна, конечно, бесконечна, но всего в одной (или двух) точке, что можно как-нибудь обойти.
Получается, что сингулярность вытекает из симметрии, а полной симметрии в природе не бывает, а без симметрии, глядишь, и удастся выкрутиться...
И вот Пенроуз публикует заметку на трех страничках всего, в которой доказывает неизбежность сингулярностей при коллапсе. Статья доступна, очень понятно написана, так что я лишь кратко перескажу основные положения.
Пенроуз прямо пишет, что сингулярности нефизичны, поэтому математическая сингулярность означает одно из следующего: присутствие отрицательной энергии; нарушение уравнений Эйнштейна; многообразие пространства-времени (искривленное пространство-время) не полно, то есть в нем "дыра"; сама концепция пространства-времени теряет смысл при больших кривизнах, например, проявляя квантовую природу. Эти возможности взаимосвязаны, и могут быть переформулированы друг через друга.
Далее, делается пять весьма общих предположений:
- Пространство-время риманово, с сигнатурой -+++, то есть обычное пространство-время общей теории относительности, причем световой конус ограничивает области будущего и прошлого. Всё как в ОТО.
- Любая светоподобная геодезическая может быть продолжена в будущее сколь угодно далеко (я немного упрощаю и вульгаризую Пенроуза!). Здесь тоже всё прозрачно: если нет сингулярностей, то свет в любую сторону, в которую он может лететь, может лететь сколь угодно далеко.
- Каждая свето- или времениподобная геодезическая может быть продолжена в прошлое до некоторого сечения C³, грубо говоря - начального положения. Ну, опять же: у любого события есть какое-то прошлое, которое можно проследить сколь угодно далеко, до любой выбранной "даты".
- Все времениподобные векторы удовлетворяют некоторому неравенству, имеющему смысл неотрицательности энергии. По сути, тензор энергии-импульса неотрицательно определен. Отрицательная энергия позволяет избежать сингулярностей, и так избегал "большого взрыва" Хойл, который этот термин и ввел, причем как насмешку.
- Существует захваченная поверхность T² (trapped surface). Это замкнутая двумерная пространственноподобная поверхность, такая, что две перпендикулярные к ней светоподобные геодезические сходятся.
Собственно, результат статьи состоит в несовместимости этих пяти предположений. Хотя бы одно нарушается. Последнее означает коллапс, без него все и так хорошо; 3 и 4 разумны, с чего им нарушаться? Нарушение первого и/или второго и есть одна из перечисленных выше проблем: либо проблемы с гладким пространством-временем, либо не продолжаются геодезические, что и есть сингулярность.
Обсудим последнее предположение подробнее. Оно означает коллапс. Дело в том, что с захваченной поверхности нельзя уйти наружу: только внутрь. В принципе, интуитивно ясно, что захваченная поверхность будет с ходом времени сжиматься и достигнет сингулярности... но не все так просто.
Не так просто, но рассуждения довольно технические. Сначала Пенроуз показывает, что каждая геодезическая вырождается (встречается с каустикой). Здесь используется положительность энергии и сходимость геодезических, стартующих с захваченной поверхности. В принципе, это довольно очевидно: любые две геодезические, перпендикулярно пущенные в будущее с T², будут сближаться и встретятся. Но разные пары могут встретиться через разное время... И положительность энергии тут играет неочевидным образом.
Тогда граница области B³, в которую можно попасть по времениподобным геодезическим (направленным в будущее) с нашей захваченной поверхности T², компактна: замкнута и ограничена.
Ее можно сколь угодно точно приблизить гладкой замкнутой пространственноподобной поверхностью B³*. С этой приближающей поверхности можно выпустить геодезические под прямым углом в прошлое до начальной поверхности C³ (по предположению, это можно), и получается, что разным точкам C³ соответствуют разные точки поверхности B³*, чего быть не может из-за некомпактности C³. Поверхность B³* охватывает B³, она как смятая сфера (гомеоморфна сфере), а ее "один к одному" на С³, которая смятая плоскость (гомеоморфна трехмерной плоскости), отобразить нельзя. Как нельзя нарисовать глобус на одной карте, не изобразив хотя бы какие-то точки дважды.
Возможно, я слишком упрощаю и где-то грешу против строгости... но хочу сделать чуть понятнее.
Результат, таким образом, довольно технический. Так бывает часто: вроде всё понятно, с горизонта нельзя уйти, то есть чем дальше во времени, тем хуже ситуация, и в итоге она станет предельно плоха, что и есть сингулярность. Но в несимметричном случае "всяко может быть", и доказать неизбежность сингулярности не так и просто. А Пенроуз доказал, используя формальные свойства. И это красиво, математики оценили!
R. Penrose Gravitational collapse and space-time singularities // Physical Review Letters, V.14, number 3. 18.01.1965.
Путеводитель по рубрике "Гравитация" и по каналу в целом
