Моя любимая планиметрическая задачка называется теоремой Помпею:
Доказательств есть много разных, я приведу парочку.
Доказательство через равные треугольники и вписанные углы
Отложим на отрезке длины c отрезок длины a.
Докажем, что CT=b.
Треугольник ATM равносторонний. Потому что AM=MT и угол AMT равен 60°, как и угол ABC.
Смотрите, желтые треугольники равны:
Можно честно опереться на первый признак равенства. А можно просто сказать, что они получаются друг из друга поворотом на 60° вокруг точки A.
Доказательство через площади и вписанные углы
Вычислим двумя способами площадь S
четырехугольника ACBM.
С одной стороны, S = ½AB⋅CM⋅sin ϕ ,
где ϕ — угол между диагоналями четырехугольника.
С другой стороны, площадь S равна сумме площадей треугольников ACM
и BCM, поэтому
S= ½AC⋅AM⋅sin∠CAM + ½BC⋅BM⋅sin∠CBM
Разберемся с углами. ∠CAM равен 60°+половина дуги ВМ. И именно тому же равен один из углов при пересечении диагоналей четырехугольника ACBM, потому что угол между хордами равен полусумме высекаемых ими дуг. Аналогично с ∠CBM, он равен второму углу при пересечении диагоналей.
Следовательно, sin∠CAM = sin∠CBM = sin ϕ. Кроме того, по условию AB = AC = BC, откуда немедленно следует нуж-
ный результат.
Обобщения
Теорема Помпею является частным случаем нескольких более сложных теорем. Приведу их здесь, а доказательства разберу в последующих статьях.
1. Теорема Птолемея
Если четырехугольник ABCD вписанный, то произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:
AC ⋅ BD = AB ⋅ CD + AD ⋅ BC
Применим эту теорему в случае теоремы Помпею. Равные стороны треугольника сократятся и получится в точности то, что нам нужно.
2. Обобщенная теорема Помпею
3. Теореме Кэзи
Не будем на этом останавливаться и вершины А, В, С тоже заменим окружностями.
Даны 4 окружности a,b,c,d. Обозначим за d(a,b) длину общей внешней касательной между a и b. Тогда следующие условия равносильны:
- одно из чисел d(a,b)⋅d(c,d), d(a,c)⋅d(b,d), d(a,d)⋅d(b,c) равно сумме двух других
- окружности a,b,c,d проходят через одну точку, касаются одной прямой или касаются одной окружности.
4. Для пятиугольника тоже применимо
Попробуйте доказать самостоятельно следующее утверждение:
Пусть точка P лежит на дуге BC окружности, описанной около правильного пятиугольника ABCDE. Докажите, что PA + PD = PB + PC + PE.
Указание. Примените теорему Птолемея к четырехугольникам PBAE, PCDE и PAED.