Задача про пиццу в коробке

Восемь одинаковых кругов положили в коробку так, как показано на рисунке. Докажите, что центры трех верхних кругов лежат на одной прямой.

На самом деле это пиццы, вы же понимаете

Не спешите читать решение, оно дальше в статье, немного порешайте сами, ну и на пиццы полюбуйтесь.

Вот именно они с чертежа выше. Решили задачку?

Решение

Обозначим центры кругов и соединим их попарно.

Теперь уже почти очевидно

Доказательство состоит из трех частей:

1. Точки A, D, G лежат на одной прямой.
2. Точки C, E, G лежат на одной прямой.
3. Точки A, B, C лежат на одной прямой.

Первые два шага

Первые два утверждения доказываются аналогично, поэтому докажем только первое: 

DA = DF = DG = 2r, где r — радиус шара. Пусть желтые углы равны a, а красные — b. Прямые AF и GF параллельны стенке и дну коробки соответственно, потому что центры соответствующих шаров отстоят от них на одном и том же расстоянии. Поэтому угол AFG — прямой, то есть, a + b = 90°. Тогда сумма углов ADF и FDG равна (180° – 2b) + (180° – 2a) = 360° – 2(a + b) = 180°, что и требовалось.

И последний шаг

Теперь докажем третье утверждение.

Заметим, что в треугольнике ABG: DA = DB = DG, следовательно, угол ABG прямой. Аналогично, из равенства ЕС = ЕВ = ЕG следует, что угол CBG прямой. Значит, точки А, В и С лежат на одной прямой.

Для тех, кто любит задачи посложнее

Та же задача, если кругов 13 и они лежат в пять рядов. Докажите, что круги пятого ряда лежат на одной прямой.

Задача и иллюстрация: Росс Хонсбергер, Mathematical Diamonds

Решения в комменты :)