В остроугольном треугольнике ABC угол А равен 60°. Докажите, что биссектриса одного из углов, образованных высотами, проведенными из вершин B и C, проходит через центр описанной окружности этого треугольника.
Приведем три различных способа решения.
Способ первый — дополнительная окружность
Точки B, C, O, H лежат на одной окружности. Так происходит, потому что ∠BHC=120° (несложно посчитать) и ∠BOC=120° (центральный угол при вписаном угле 60°). Значит обе точки и O, и H лежат на дуге окружности, откуда отрезок BC виден под углом 120°.
Треугольник CBO — равнобедренный с углом 120° при вершине O. Значит ∠OCB=30°. Углы OHB и OCB опираются на одну и ту же дугу, поэтому ∠OHB=30°. Следовательно, OH — биссектриса.
Способ второй — симметрия нас спасет
Продолжим высоты до пересечения с описанной окружностью.
Тот факт, что OH — биссектриса, равносилен тому, что бабочка симметрична относительно OH. А для этого достаточно доказать, что BC=B3C3.
BC=B3C3 потому что это хорды, которые стягивают равные дуги по 120° каждая, так как ∠A=60° и ∠ACC3+∠ABB3=30°+30°=60°.
Способ третий — с помощью параллелограмма
Серединные перпендикуляры параллельны высотам. Поэтому точки пересечения серединных перпендикуляров являются вершинами параллелограмма.
Посчитаем расстояние между двумя параллельными прямыми — серединным перпендикуляром и высотой к одной и той же стороне. B1B2=AB1−AB2=AB/2−AC/2, AB1 мы нашли из прямоугольного треугольника с углом 30°, а AB2 — половина стороны.
C1C2=AB/2−AC1=AB/2−AC/2.
Расстояния между параллельными прямыми равны, значит это не просто параллелограмм, но и ромб. А в ромбе диагональ является биссектрисой.
Замечания
То, что точно точка O расположена относительно треугольника и точки H именно так (на это опираются все решения), гарантирует первый способ решения.
Автор задачи: В. Погребняк
Хотите больше геометрических задачек — подписывайтесь на телеграм-канал
