Классическая геометрическая задача на треугольнике. В решении помогут зоркие глаза и базовые знания о треугольниках.
Условие:
Точка пересечения высот остроугольного треугольника равноудалена от середин его сторон. Докажите, что треугольник равносторонний.
Решение:
Пусть H - центр пересечения высот (ортоцентр). BD высота треугольника ABC. M и N середины сторон AB и BC.
Пусть BD пересекает MN в точке K. Тогда MNǁAC (средняя линия) и BH перпендикулярно AC, значит HK - высота треугольника MHN. Но HM=MN, следовательно HK - биссектриса треугольника MHN. Поэтому ▲HMB=▲HNB и BM=BN, то есть BA=BC. Аналогично BA=AC.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!
