Такая разная математика

Хотя деления в поле действительных чисел и не существует, но задачи на делимость все же имеют место быть. Следующая задача как раз из таких. Условие: Пусть каждое из натуральных чисел n, n+1, n+2 делится на квадрат любого своего простого делителя. Докажите, что число n делится на куб некоторого своего простого делителя. Решение: Предположим противное: число n делится ровно на вторую степень каждого своего простого делителя. Тогда n=k², где k — произведение всех простых делителей n...

Задачи на взвешивая требуют от вас только умения рассуждать и немного считать. Такие задачи хоть и относятся к олимпиадным, но под силу любому желающему попробовать себя. Условие: Имеется 40 внешне одинаковых монет, среди которых 3 фальшивые — они весят одинаково и легче, чем настоящие (настоящие монеты также весят одинаково). Как с помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 16 настоящих монет? Решение: Разделим все монеты на пять равных кучек, в каждой из которых по 8 монет, и пронумеруем их...

Следующая задача относится к типу конструктивных. То есть таких задач в которых достаточно привести пример удовлетворяющий условию или доказать, что условие невыполнимо. Попробуйте решить задачу самостоятельно. Если возникнут трудности внизу есть подсказки. Условие: В наборе из пяти палочек ни из каких трех палочек нельзя составить треугольник. Могло ли так...

Графы это хорошо и здорово. Графы много где используются и существует множество олимпиадных задач про них. Но в данном случае граф будет использоваться только, как пример и никакие его свойства нам не понадобятся. Условие: В стране 20 городов. Авиакомпания хочет организовать двусторонние рейсы между ними так, чтобы из любого города можно было добраться в любой другой не более чем за k пересадок. При этом количество авиалиний из любого города не должно превышать четырех. При каком наименьшем k это возможно? Решение: Заметим, что потребуется сделать не менее двух пересадок...

Классическая олимпиадная задача на исследование квадратных уравнений. Наиболее эффективный способ такого исследования это теорема Виета (зачастую, но не всегда). Предыдущие задачи по теме: Задача 99, Задача 45. Условие: Корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0 в 2020 раз больше корней квадратного уравнения cx²+dx+a=0...

Несложная задача на оценку и пример. Нужно будет по переворачивать карточки. Условие: На столе лежит 7 карточек. За один ход можно перевернуть 5 ровно карточек. За какое количество ходов можно перевернуть все карточки обратной стороной? Решение: Оценка: Очевидно, что одного хода не хватит. После двух ходов найдутся по крайней мере три карточки, перевернутые по два раза, а значит, эти карточки будут в исходном положении...

Три отличных задачи на логику. Если хотите проверить свое мышление, то вам отлично подойдут эти задачи. Задача 1. В одном классе ученики разделились на две группы. Одни должны были всегда говорить только правду, а другие – только неправду. Все ученики класса написали сочинение на свободную тему, которое должно было заканчиваться фразой “Всё здесь написанное, правда” или “Всё здесь написанное, ложь”. В классе было 15 правдолюбцев и 12 лжецов. Сколько получилось сочинений с утверждением о правдивости написанного? Объясните ответ...

Классная задача на пример плюс оценку, раскраски и четность одновременно. Комбинирование методов решения всегда приводит к нетривиальным решениям. Условие: В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за один рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят ровно три фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке? Решение: Оценка: Каждая фишка должна поменять четность...

Часто в олимпиадных задачах встречаются фокусы. Например фокусы с картами. Когда нужно либо угадать либо оставить конкретную карту. На первый взгляд не очевидные задания часто выполняются математически. Условие: Фокусник выкладывает в ряд колоду из 52 карт и объявляет, что 51 из них будут выкинуты со стола, а останется только тройка треф. Зритель на каждом шаге говорит какую карту по счету нужно выкинуть, а фокусник выбирает, с левого или с правого края считать, и выкидывает соответствующую карту...

Три хороших олимпиадных задачки, для не сильно искушенных. Книжки, бактерии и песочные часы, есть над чем подумать. Задача 1. У трёх школьников вместе 12 книжек с занимательными математическими задачами. У первого школьника на две книжки меньше, а у третьего на две книжки больше, чем у второго школьника. Сколько книжек с занимательными математическими задачами у каждого из школьников? Задача 2. В колбу пустили бактерию. Каждую минуту число бактерий удваивается...

Задача на взвешивания отличный повод воспользоваться своей логикой для решения задачи. Предыдущие задачи по теме: Задача 96, Задача 79. Условие: Имеется 40 внешне одинаковых монет, среди которых 3 фальшивые — они весят одинаково и легче, чем настоящие (настоящие монеты также весят одинаково). Как с помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 16 настоящих монет? Решение: Разделим все монеты на две части по 20 монет и взвесим. Так как фальшивых монет нечетное число, то одна из кучек перевесит...

Классическая олимпиадная задача на пример плюс оценку на шахматной доске с шахматными фигурами. Предыдущие задачи по теме: Задача 100, Задача 91. Условие: При каком наименьшем n на шахматную доску можно поставить n ладей и n слонов так, чтобы любая ладья била хотя бы двух слонов, а любой слон бил хотя бы две ладьи? Решение: Назовем пару «ладья — слон» ладейной, если в ней ладья бьет слона, и слоновой, если в ней слон бьет ладью...