Рассмотрим приём, применяемый при решении текстовых задач. Приведём примеры его применения на ЕГЭ (Россия), на ЕНТ (Казахстан).
Задача 1. Р.М. Смаллиан. В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица вдвое дороже маленькой. Леди, зашедшая в магазин, купила 5 больших птиц и 3 маленьких. Если бы она вместо этого купила 3 больших птицы и 5 маленьких, то потратила бы на 20 долларов меньше. Сколько стоит каждая птица?
Решение. I способ («взрослый»). Пусть х долларов — стоимость большой,
у долларов — стоимость маленькой птицы. Составим два уравнения:
х = 2у и (5х + 3у) – (3х + 5у) = 20. Решив систему двух уравнений, получим её решение: х = 20, у = 10. Маленькая птица стоит 10 долларов.
II способ («детский»). Большая птица вдвое дороже маленькой. Заменим в условии задачи каждую большую птицу двумя маленькими. Получим новую задачу, приводящую к тому же ответу.
Задача 1а. Леди, зашедшая в магазин, купила 13 маленьких птиц. Если бы она вместо этого купила 11 маленьких птиц, то потратила бы на 20 долларов меньше. Сколько стоит маленькая птица?
Теперь очевидно, что 20 долларов уплачены за двух маленьких птиц, каждая из которых стоит 10 долларов.
Ответ. 10 долларов.
Задачу 1 давали на выпускном экзамене «Математическая грамотность» в Казахстане. Это аналог нашего ЕГЭ базового уровня.
Такой приём изменения условия задачи, который не изменяет её ответа, будем называть переформулировкой задачи. Этот приём окажется полезным при решении других задач.
Задача 2. От пола комнаты одновременно вертикально вверх по стене поползли две мухи. Поднявшись до потолка, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое быстрее первой, но зато спускалась вдвое медленнее. Какая из мух раньше приползёт обратно?
Эта задача под номером 1076 есть в учебнике для 5 класса серии «МГУ-школе». Ясно, что рациональных выражений пятиклассники не изучали, но взрослый решатель на сайте гдз.ру не щадит бедных детей.
В предпоследнем неравенстве x незаметно переполз из знаменателя дроби в числитель, но «шерифа не волнуют проблемы индейцев».
Теперь рассмотрим «детское» решение задачи с переформулировкой.
III способ («детский»). Пусть вторая муха поднималась вдвое медленнее первой мухи, а спускалась вдвое быстрее. Ответ от этого не изменится. Пока вторая муха медленно поднимется до потолка, первая муха с вдвое большей скоростью преодолеет в два раза большее расстояние, то есть проделает путь туда и обратно. Первая муха финиширует первой.
Заметим, что переформулировка помогает иногда при решении задач на ЕГЭ. Вот задача и её решение с сайта СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ.
Задача 3 (321495). В классе 16 учащихся, среди них два друга — Олег и Вадим. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Вадим окажутся в одной группе.
Решение. Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 3 человека из 15 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 3 человек, равна 3 : 15 = 0,2.
Переформулируем задачу так, чтобы приведённое решение стало более понятным.
Задача 4. В классе 16 учащихся, среди них два друга — Олег и Вадим. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Олег попал в одну из групп. Найдите вероятность того, что Вадим окажется в той же группе.
Почему эта задача имеет тот же ответ, что и предыдущая? — Да потому, что места в четырёх группах могли разыгрывать с помощью урны — ребята тянули по очереди жребий — бумажки с номерами групп. Не нарушая общности, можно считать, что первым тянул жребий Олег, а вторым Вадим. Тогда у Вадима было 3 возможности из 15-ти попасть в группу Олега.
Подробнее об этой задаче можно почитать заметку 17) на странице Подготовка к ЕГЭ-2020.
Ваш наблюдатель Шевкин Александр Владимирович.