Вообще правильнее спросить, наоборот, как Иран стал Персией, потому как первое название использовалось намного раньше. А для жителей страны, можно сказать, всегда.
Современное названием восходит к авестийскому Айриана —"страна ариев". Термин "Иран" в качестве политического, религиозного и культурного понятия использовался уже в эпоху Ахеменидов (550—327 годы до н. э.), однако, окончательно закрепился при Сасанидах (224—651 годы). Они называли страну Эран или Эраншахр ("царство ариев"). Официальный титул Сасанидов был: «царь царей Эрана и Анерана».
"Персия" — это греческий вариант названия одной из исторических областей Ирана, расположенной на берегу Персидского залива. Сейчас Фарс (или Парс) — одна из провинций (останов) Ирана. А название провинции происходит от древнеиранского самоназвания племени "парсу"("парса"), что означает "богатыри". В этой местности жили иранские племена, которые создали империю Ахеменидов. Это первая персидская империя, существовавшая в VI — IV веках до н.э. на территории Передней Азии и северо-восточной Африки. Буква "п" сменилась на "ф" после арабского завоевания Ирана в VII веке, поскольку в арабском алфавите как тогда, так и сейчас нет буквы "п". Сейчас парсами называют общину зороастрийцев, живущих в Индии и Пакистане. Они имеют иранское происхождение, их предки бежали с территории Ирана в VIII веке из-за распространения ислама после арабского завоевания.
Несмотря на то, что у иранцев названия "Иран" и "Иранская империя" используются с древних времён, за пределами страны она была известна как Персия. Вслед за греками и войны мы называем греко-персидскими. До сих пор во всём мире ценят персидские ковры и любят персидских кошек. Греческий вариант названия закрепился почти во всех языках мира, как и название древней иранской столицы — Персеполиса ("город персов"). Сами иранцы называют город Тахт-е Джамшид, то есть "трон Джамшида" — одного из иранских мифологических царей.
В 1935 году основатель новой царской династии Реза-шах Пехлеви потребовал от всех держав называть его страну Ираном (в том же году, когда был издан "декрет о снятии чадры"). В самом Иране говорят, что переименование было связано с желанием объединить многонациональное государство — кроме персов в Иране живут азербайджанцы, курды, луры, белуджи, арабы, туркмены и другие народы. Реза-шах хотел войти в историю, а заодно напомнить о величии былых империй. Но злые языки утверждают, что инициатива исходила от иранского посла в Германии, попавшего под влияние нацистов. Он был убеждён, что название Иран будет подчёркивать арийское происхождение его жителей.
Сейчас язык иранцев, фарси, так называют и в Иране. Это редкий пример "обратного заимствования". Иногда так называют и иранские государства до арабского завоевания. Но самоназвание иранцев — "ирани". Никак не персы.
А вот залив для иранцев исключительно "персидский". Только арабам не говорите, на арабских картах он всегда "арабский".
