Мы постоянно имеем дело с разными высказываниями. Иногда они совершенно простые: «корова», «дождь», «холодно». Иногда высказывание чуть посложнее: «корова мычит», «все вороны чёрные», «если пойдёт дождь, я возьму зонтик».
И далеко не всегда понятно, что одна фраза логически эквивалентна другой.
О чём речь?
Речь идёт про логическую эквивалентность. Её ещё называют логическая равнозначность, или эквиваленция. Это логическое выражение, указывающее, что два высказывания всегда одинаково истинны или одинаково ложны. Обозначается ≡, ↔ или ⇔ . Означает: Х тогда и только тогда, когда Y.
Записывается X ⇔ Y, X ↔ Y или X ≡ Y.
Пример использования
Возьмём выражение и попробуем найти для него эквивалентное.
X — «Если пойдёт дождь, то я возьму зонтик».
Разобьём выражение на две части, связанных следствием (импликацией):
A — «пойдёт дождь»;
B — «я возьму зонтик»;
Х = A → B.
Какая из фраз будет логически эквивалентна фразе X?
Y — «Если я не возьму зонтик, то дождь не пойдёт». ¬B → ¬A
Z — «Если дождь не пойдёт, то я не возьму зонтик». ¬A → ¬B
Может интуитивно показаться, что X ↔ Z. Но так ли это?
Давайте снова обратимся к таблицам истинности и аккуратно подсчитаем значения всех выражений:
Получается, что логически эквивалентным выражению «Если пойдёт дождь, то я возьму зонтик» будет выражение «Если я не возьму зонтик, то дождь не пойдёт».
Парадокс ворона
Иногда логическая эквивалентность приводит к неожиданным результатам. Допустим, к такому утверждению: чтобы доказать, что все вороны чёрные, нужно проверить все нечёрные предметы. Если среди нечёрных предметов нет ни одного ворона, то все вороны действительно чёрные. Но разве наша убеждённость в том, что все вороны чёрные, возрастает, когда мы видим пегую лошадь или красное яблоко?
Об этом парадоксе писал ещё Гемпель. На нашем канале мы тоже разбирали этот парадокс: логического противоречия в нём нет, а наша убеждённость вполне соответствует статистическому объяснению с помощью теоремы Байеса.