Поступила просьба разобраться с гравитационным парадоксом. Выполняю...
Оглавление рубрики "Гравитация"
Примем закон Всемирного тяготения Ньютона и рассмотрим бесконечную однородную Вселенную, заполненную веществом с более или менее постоянной единичной плотностью. Попробуем вычислить потенциал в произвольной точке, которую примем за начало отсчета.
Каждый маленький объем dV имеет массу dM=dV (плотность у нас 1) и создает потенциал, пропорциональный dV/r, где r есть расстояние до начала отсчета. Так вот, такой интеграл расходится.
Раз интеграл расходится, то это указывает на проблему либо в теории, либо в предположениях. Можно сказать, что интеграл сходится к бесконечности, под ним же положительная величина, и тогда получается бесконечный потенциал, что тоже неприятно. Это и есть парадокс Неймана-Зелигера (Neumann-Seeliger), или гравитационный парадокс.
Нам удобнее будет вычислять не потенциал, а силу. Каждый маленький объем притягивает пробное тело в нуле с силой, пропорциональной dV/r², а такой интеграл сходится условно. И вот в этом все дело... (См. подробнее статью Sarasúa, ссылка внизу).
Усугубляет ситуацию то, что интеграл для силы все-таки можно вычислить. Он же сходится, хоть и условно. Например, если применить симметрию. Скажем, расслоим пространство на концентрические сферы. Слои между двумя такими сферами, по известной теореме Ньютона (я о ней рассказывал), не притягивают. И более того: мы находимся в центре этих сфер, где из-за симметрии все силы уравновешены.
Можно разбить пространство на кубики так, чтобы мы были в центре одного из них. Тогда интеграл сводится к сумме по кубикам, а если их считать симметрично, то получится опять-таки нуль.
Это очень сильно напоминает ситуацию с условно сходящимися рядами. Как мы знаем, переменой порядка суммирования (а у нас порядок заранее не задан) можно устроить любую сумму. Это теорема Римана.
Собственно, вот как можно получить любой желаемый результат. Отлетим от начала отсчета куда-нибудь в точку Þ. Возьмем шар с радиусом Þ и центром в нуле. Она притягивает нас как материальная точка той же массы (Þ³) в центре. То есть создает некоторую силу, направленную к началу отсчета и обратно пропорциональную квадрату расстояния Þ. В итоге, сила эта пропорциональна Þ и направлена к нулю. Остальное пространство расслоим на сферы, и промежутки между двумя близкими сферами (мы внутри них) не притягивают. Выберите подходящее положение для начала отсчета, и данный расчет даст такую силу, какая Вам будет угодна: и по величине, и по направлению.
Итак, важный вывод. Поскольку расчет потенциала сводится к вычислению условно сходящегося интеграла по пространству (или ряда без заданного порядка слагаемых), то задача математически некорректна: в зависимости от порядка суммирования может быть получен произвольный результат.
Тем не менее, парадокс указывает на проблему в теории Ньютона. Она разрешается в Общей теории относительности. Однако не следует думать, что теорию Ньютона следовало выкинуть в урну сразу, как парадокс был обнаружен. Она прекрасно работает в конечных масштабах, а фокусы бесконечности, это, конечно, неприятно, но не смертельно. Можно и подождать, пока новая теория закроет проблему.
А как ОТО ее закрыла? На самом деле, ничего особенного она не сделала, о чем чуть ниже. В данном случае могло бы помочь даже задание порядка суммирования тем или иным способом. Некоторые авторы, и я склонен с ними согласиться, считают правильной эгоцентричную точку зрения, согласно которой однородная бесконечная Вселенная притягивает каждое пробное тело с нулевой силой. Потенциал получается бесконечный, но везде одинаковый, и разность потенциалов как бы нулевая. Не строго, но хоть что-то. В конце концов, все точки равноправны и потенциал и должен быть одинаковый; хоть и бесконечный (ах, дьявол!)
Есть такое понятие: главное значение интеграла в смысле Коши. Это оно самое: если интеграл с бесконечными пределами (от -∞ до ∞) расходится, то иногда можно выкрутиться, взяв пределы симметрично (от -А до А) и увеличивая А. Тогда может получаться, например, все время нуль, и тогда значением всего интеграла считается нуль. Например, таков интеграл от той же "вредной" функции 1/x. Тут, правда, проблема в нуле, но принцип тот же. Главное значение равно нулю.
А в ОТО не вычисляется сила (которую в рассматриваемом случае по Ньютону вычислить не получается) или потенциал (который бесконечен). В ОТО вычисляются четырехмерные геодезические линии, по которым и движутся тела. В такой линии зашита и трехмерная траектория, и скорость, и ускорение, и эффективная "сила", которая ускорение создает.
Можно сказать иначе: в ОТО получается некий эффективный потенциал, но он немного другой, и за счет этого "немного" всё становится корректным.
Можно еще уточнить, но это уже для профи: в ОТО мы сначала определяем компоненты метрического тензора Римана, а через них уже метрику и уравнения геодезических линий. А компоненты этого тензора выражаются через вторые производные потенциала Ньютона.
Дифференцирование (вычисление производных) вообще довольно плохая операция. Малый шум становится еще меньше при интегрировании, но катастрофически увеличивает погрешность при дифференцировании, например. Сходящиеся ряды часто можно интегрировать, но реже можно дифференцировать; то же касается и интегралов. Поэтому, если у нас "проблемы", то лучше бы получить не потенциал (который у Ньютона расходится) и не его производную (силу, которая сходится условно, что чуть лучше: был бы определен порядок суммирования, и проблема бы решилась), а производные силы, то есть вторые производные потенциала. ОТО дает именно их, и этим решает проблему. Поэтому вот здесь правильно, хотя и слишком лаконично, сказано, что уравнение Пуассона, которое позволяет вычислить потенциал немного иначе (не через интеграл, а эквивалентно), дает не все вторые производные потенциала. И вот это-то и порождает парадокс.
Спасибо за внимание!
Источники
- Дж. Синг Общая теория относительности (парадокс явно не рассматривается, но кое-что любопытное я почерпнул)
- D.A. Cucic Astrophysical paradoxes (решает парадокс обращением к модели расширяющейся вселенной Фридмана, что тоже работает, но дело-то не в этом...)
- L. Sarasúa Seeliger’s Gravitational Paradox and the Infinite Universe (самая полезная в контексте моего рассказа работа)
- N. Ionescu-Pallas et al. Search for a solution of Seeliger's gravitational paradox in the framework of General relativity theory
