Теорема Виета в массовом школьном сознании ассоциируется с нахождением корней квадратного уравнения. Для одних это какое-то магическое заклинание, позволяющее решать задачу «не через дискриминант», для других действенный способ сэкономить время на решении.
Мы предполагаем, что большинство читающих умеют применять эту теорему для поиска корней квадратного уравнения, поэтому поговорим о некоторых тонкостях её использования.
Как на практике подбирать корни
Часть учеников, даже выписав соотношение между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, всё равно испытывают трудности с подбором корней.
Дело в том, что многие школьники считают подбор неким бессистемным действием сродни хаотичной стрельбе с закрытыми глазами. Однако, любой подбор должен быть осознанным перебором, то есть в основе иметь какую-то логику.
Проблема состоит ещё и в том, что те, кто умеют быстро подбирать значения, сами порой не осознают, что делают это не интуитивно, а по некой системе. В итоге они не задумываются над своими действиями и не могут объяснить другим, как рассуждают, считая, что «всё очевидно». Тем самым для остальных практическое применение теоремы Виета становится магией для посвященных.
Хотя достаточно одной идеи, чтобы значительно ускорить перебор вариантов.
Итак, давайте рассмотрим квадратное уравнение x²-8x+15=0, которое даёт нам вот такие условия для корней:
Обычно их выписывают именно в таком порядке: первым соотношением идёт сумма, а затем произведение. Это и играет злую шутку с учениками. Они начинают ориентироваться на первое равенство и перебирать варианты целых слагаемых, которые потом подставляют во второе соотношение. В итоге тратится много сил на лишние (хотя в данном случае и довольно быстрые) вычисления.
Cекрет же эффективного перебора прост: надо начинать со второго соотношения, то есть отталкиваться от произведения.
В предложенном примере возможны два варианта: 15 = 3 ⋅ 5 = 1 ⋅ 15. Конечно, здесь мы сразу учли поправку на знаки множителей. Так как произведение положительно, то знаки множителей совпадают, а так как сумма тоже положительна, то и сами числа тоже положительные. В итоге благодаря разложению на множители и последующей проверке суммы легко находим, что это числа 3 и 5.
Иногда, конечно, бывают неприятные числа, которые допускают больше вариантов разложения на множители. Например, 24, 36 или 48. Но такие случаи довольно редки и обычно грамотный перебор допускает не более 3-4 вариантов.
Отметим также, что хотя теорема Виета работает для любых действительных корней, её в таком виде лучше использовать, когда первый коэффициент a равен единице. В этом случае корни будут целыми и подбор будет эффективным. Иначе следует сразу честно считать через дискриминант.
И конечно, надо учитывать, что в некоторых ситуациях подбор корней бессмысленен. Например, в случае иррациональных корней или если действительных корней вообще нет. В таком случае мы советуем ученикам применять правило «10 секунд»: если за это время не удалось подобрать корни — считайте честно через дискриминант.
Полезные соотношения между коэффициентами (а+b+c=0 и а-b+c=0)
Теорема Виета позволяет не только подбирать корни, но даёт два интересных следствия, про которые мы писали в прошлом году. Они настолько важные, что повторим наши рассуждения и здесь.
Допустим, что вы столкнулись с квадратным уравнением, в котором сумма коэффициентов равна 0. То есть для уравнения аx²+bx+c=0 выполнено условие а+b+c=0.
Для удобства давайте сразу будем работать с конкретным уравнением. Например, для определённости возьмём такое уравнение: 4x²-5x+1=0. Очевидно, что 4-5+1=0. И это означает, что единица автоматически является решением. Действительно, подставим её в наше уравнение: 4⋅1²-5⋅1+1=4-5+1=0 и убедимся, что это так.
Далее используем теорему Виета: произведение корней равно с/а. А так как один и них равен 1, то легко получаем, что второй равен с/а. А в нашем конкретном примере второй корень равен 1/4.
Рассуждения для случая а-b+c=0 аналогичны. Там один из корней равен -1.
В итоге мы получаем вот такие интересные ситуации, при которых корни находятся мгновенно:
Уравнения с такими условиями на практике встречаются довольно часто. Составители задач ленятся придумывать новые квадратные уравнения и пользуются указанными соотношениями.
Удивительно, что этот приём знают далеко не все ученики физмат классов, хотя он позволяет существенно сократить время решения простых задач.
Быстрая проверка корней
Ещё одно применение теоремы Виета, про которое забывают многие ученики, — это проверка найденных корней. Она позволяет мгновенно проверить рациональные корни вашего квадратного уравнения, если вы их считали через дискриминант.
Например, есть уравнение 48x²-46x+5=0. После некоторых вычислений получаем корни 1/8 и 5/6. Можно сразу выписать их в ответ, а можно потратить 2-3 секунды и убедиться, что 1/8⋅5/6=5/48, то есть выполнено одно из соотношений в теореме Виета и x₁x₂=c/a.
Конечно, одна эта проверка не является абсолютной гарантией правильности найденных корней. Но как минимум в 95% случаев она вылавливает ошибки. Особенно хорошо она вылавливает случаи, когда ученики забывают что-то разделить или умножить (например, забывают указать двойку в знаменателе для корней).
Если же вы хотите стопроцентной уверенности в найденных корнях, можете проверить и другое условие — для суммы корней.
Формулы Виета для кубического уравнения
Теорема Виета работает не только для квадратного уравнения. Её можно использовать для многочленов любой степени.
Второй по распространённости применения этой теоремы идёт (правда с большим отрывом) многочлен третьей степени.
Пусть у нас есть кубическое уравнение ax³+bx²+cx+d=0, которое имеет три действительных корня. Тогда многочлен слева можно представить в виде:
Раскрываем справа скобки и приводим подобные слагаемые. В итоге получаем следующую картину:
Приравниваем коэффициенты и получаем следующие соотношения:
В школьных задачах и стандартных экзаменах формулы Виета для кубического уравнения не применяются, но на вступительных испытаниях более высокого уровня вполне могут пригодиться. Например, они дважды использовались вот в такой физтеховской задаче-монстре.
Неправильное употребление названия теоремы
Нужно понимать, что при поиске корней квадратного уравнения мы всё-таки используем не теорему Виета, а обратную теорему Виета. И правильно говорить, что мы ищем корни «методом подбора с проверкой по теореме, обратной теореме Виета». Вот здесь давний подписчик нашей группы указывает на отличия и призывает преподавателей к правильному произношению. Цель понятна — воспитать у учеников математическую грамотность и умение чётко проговаривать формулировки.
Однако, некоторые внимательные зрители заметили, что в наших видеоразборах задач мы всё равно говорим про «теорему Виета» и не испытываем при этом угрызений совести. Даже в этой статье мы очень вольно с ней обращаемся, не указывая её как прямую или обратную.
Мы считаем, что пусть так в строгом смысле говорить и не правильно, но при решении задач это допустимо. Тут, конечно, важен контекст. Когда мы говорим, что решаем КУ по теореме Виета, мы подразумеваем, что будем использовать некое стандартное соотношение, которое поможет нам с поиском корней. Это уже стало расхожим методом и на практике прямую теорему Виета для квадратного уравнения не используют (проще явно в уме перемножить два двучлена).
Конечно, когда были устные экзамены на какой-нибудь мехмат, то могли придраться к подобной формулировке. Но на письме всё же обычно хватает просто писать в скобках «т.Виета». А если есть опасения, то могут придраться, то можно где-то в стороне найти эти корни, а в решении просто их выписать в явном в виде без указания способа поиска. Может вас вообще просто озарило и вы их нашли, пристально вглядываясь в уравнение.
При том, что подобное вольное применение допустимо для теоремы Виета, это не значит, что мы можем использовать формулировки как хотим.
Например, теорему Пифагора и обратную теорему Пифагора важно чётко различать. Но в отличие от т.Виета, которая в реальных задачах чаще всего используется только в одну сторону, для теоремы Пифагора в реальных задачах применяется и прямая и обратная формулировка.
Вот, например, такое задание из задачника Гордина:
В решении прописана обратная теорема, хотя это и не сказано в явном виде:
Прямая же теорема Пифагора встречается очень часто, и нет смысла иллюстрировать здесь её применение.
В общем, из-за массового употребления допустимо решать КУ не «методом подбора с проверкой по теореме, обратной теореме Виета», а просто «по теореме Виета». В остальных случаях подобные тонкие моменты надо стараться объяснять чётко.
Однако, если вы учитесь в математическом классе и вас интересует математика как наука, то желательно понимать различия между прямой и обратной теоремой и при необходимости пояснять их применение. В том числе и для теоремы Виета.
