Итак, мы постепенно начинаем выкладывать видео с разбором задач с параметром.
Первый блок мы решили сделать вводным. Главная цель — познакомить вас с таким типом экзаменационных заданий как задачи с параметром. На примере элементарных задач мы попробовали объяснить ключевые принципы решения и отличия от других типов задач.
Обычно школьники, даже умея решать уравнения в общем виде, при начальном ознакомлении с подобными заданиями не до конца понимают, что вообще такое “решить задачу с параметром”. Вроде бы простое линейное уравнение ax=b могут решить, а формулировку “для всех значений а и b решить...” для такого же уравнения не воспринимают.
Поэтому первая и главная идея для задач с параметром, на которую следует обратить пристальное внимание, — это исчерпание параметром всей координатной прямой. Или тех рамок, которые поставлены в условии для параметра. То есть необходимо рассматривать любые значения параметра, даже если они приводят к каким-то запрещенным действиям вроде деления на ноль.
Давайте посмотрим на вот такое простое уравнение: аx =1.
Если её решать не как задачу с параметром, то достаточно просто написать, что x = 1/a при условии, что а ≠ 0. В школьных учебниках случай а = 0 часто даже не рассматривается, чтобы не перегружать школьников излишне строгими рассуждениями. Максимум, что могут сделать, это сноску, что решать надо при допустимых буквенных значениях.
Но для задач с параметром подобного ответа будет недостаточно. Чтобы до конца решить задачу, мы обязаны рассмотреть случай а = 0 отдельно. Даже если в итого у уравнения не будет решений, то мы обязаны указать это в ответе.
Если для одного параметра ещё понятно, как рассмотреть все его значения, то для двух параметров это уже бывает сложнее. Например, уравнение аx = b. Здесь обычное буквенное решение тоже очевидно: x = b/a. Более или менее понятно, что a = 0 какое-то особенное, на него делить нельзя и поэтому надо это вариант рассматривать отдельно. Однако, при таком значении а, важно ещё и то, как ведёт себя параметр b. При равенстве нулю обоих параметров уравнение вырождается в тождество и имеет бесконечно много решений.
В указанных выше примерах в целом понятно, что следует рассмотреть значения параметров равными нулю и не равными, чтобы исчерпать все решения. Однако, порой даже само разбиение числовой оси на удобные множества может быть проблемой, так как зависит от конкретной задачи. Даже простой вопрос “Что больше: а или 2а?” предполагает разбиение прямой уже на три множества.
В общем, поиск разбиения не всегда получается тривиальным и во многом зависит от нарешанности ученика. И, кстати, как ни странно, в графических методах с этим проблем меньше. Правильный рисунок в целом неплохо подсказывает, какие значения параметра следует рассмотреть.
Следующая ключевая идея связана с тем, что первоначальный тип уравнения может меняться в зависимости от значения параметра. Наиболее выпукло это проявляется, когда мы рассматриваем уравнения, подобные вот такому:
С первого взгляда может показаться, что перед нами простое квадратное уравнение. На это нам указывает наличие одночлена x². Однако, при различных значениях а, уравнение может превращаться в линейное (при a = 0) или даже в тождество (при а = -3).
Другой пример: вырождение отрезка решения в отдельную точку, например, при применении метода интервалов.
Далее. Задания с параметром предполагают более высокую культуру решения. Особенно это касается трёх вещей: ОДЗ, схем и в целом общей эффективности и целесообразности преобразований.
К примеру:
а) В этой задаче нас спрашивают про единственность решения в зависимости от значения параметра. И здесь важно смотреть не только на условие на дискриминант квадратного уравнения (нужно, чтобы D = 0), но ещё и на то, какие ограничения даст нам знаменатель. Поэтому в итоге мы будем вынуждены рассмотреть не один случай, а сразу пять. При этом очевидное условие на дискриминант сыграет только в одном рассматриваемом варианте.
б) В этом же примере можно разглядеть и другую особенность. Если раньше достаточно было находить корни уравнения по знакомому алгоритму через дискриминант, то теперь с введением параметров во многих случаях это не эффективно. Здесь уже могут помочь такие приёмы, как нахождение корней через теорему Виета. Разложить на множители свободный коэффициент и сделать нехитрый перебор (вы же так подбираете корни, да?) гораздо проще, чем возиться с алгебраическими преобразованиями в дискриминанте.
в) В обычных школьных заданиях ещё как-то можно было переходить к следствию и после нахождения корней отсекать посторонние решения через подстановку. В задачах с параметром так практически никогда не получается. Единственный выход — учить или прямо на месте выводить различные схемы для решения.
И наконец ещё один важный момент, который необходимо понимать до того, как на горизонте появятся по-настоящему сложные параметрические задачи. Нужно хорошо знать, что значит “решить уравнение” и что такое равносильность уравнений (и желательно ещё понимать, что значит одно уравнение/неравенство является следствием другого уравнения/неравенства).
В принципе ничего сложного в этом нет. Ученики обычно верно понимают, что равносильность означает совпадение множеств решения, а следствие — включение одного множества решений в другое. Проблемы возникают тогда, когда появляется пустое множество решений и конкретное уравнение.
Многих удивляет, что оказывается уравнения вроде (x-1)²=-1 и sin5x=1,5 равносильны. И что из неравенства ln(x²+1)<0 следует, допустим, уравнение 7x=23.
