Тут как раз все очень просто.
Основа СТО составляет псевдоевклидова 4-х мерная геометрия пространства-времени, где метрика, а именно квадрат расстояния длины между ближайшими точками в декартовых координатах определяется таким образом:
По сути это все та же теорема Пифагора, но тут знаки у квадратных членов не все одинаковые . Постоянная c (скорость) перед временным членом тут возникает для размерности. Такое сочетание знаков у квадратичных членов называется сигнатурой и в данном случае (+---) . Встречаются и другой вид метрики , когда знаки наоборот (-+++). Это может вызвать путаницу, но идеологию это не меняет. У Ландау-Лифшица запись как раз как в (1), а в книге Вайнберга наоборот. Если бы 4-х мерное пространство было чисто евклидовым, то были бы все знаки с + (++++). В этом есть некоторая сложность понимания теории, но дело привычки.
Переход в произвольную систему координат дает более общую запись линейного элемента:
Запись означает, что надо просуммировать по индексам i, j , которые пробегают значения: 0,1,2,3.
Переход в другую систему координат (СК) это:
От координат x,y,z к x',y',z' и от t к t'
То есть отдельно меняются пространственные координаты, отдельно время. Переход в другую систему отсчета (СО) это:
От координат t,x,y,z к t',x',y',z'
Тут координаты и время меняются совместно с помощью гладкой функции. Все функции перехода должны быть допустимые, то есть гладкими и с ненулевым якобианом.
Переход из ИСО (инерциальная система отсчета) в ИСО это когда вид метрики (1) не меняется. Сюда относится и преобразования Лоренца.
В других случаях это переход в НЕ ИСО. Тогда же появляются силы инерции.
Длина s в 4-мерии по смыслу собственное время частицы умноженное на постоянную c . Это понятно, если зафиксировать все пространственные координаты. И отсюда сразу понятен «парадокс близнецов».
В классическом виде СТО формулировалось Эйнштейном, Пуанкаре, Минковским именно в виде (1).
Собственно всё. Преобразования Лоренца, Группа Пуанкаре, разное время жизни частицы в разных СО, сокращение стержня в движущейся инерциальной СО, "парадокс близнецов" и другие оригинальные вещи СТО - это свойства псевдоевклидовой геометрии и выводятся из метрики (1) чисто математическими способами.
Например:
Парадокс часов (близнецов) – заключается в том, что длина мировой линии s у разных часов в 4-х мерном пространстве-времени может быть разной, хотя начальная и конечная точки могут иметь одинаковые пространственные координаты. На рисунке 1 это хорошо видно. Здесь мы зафиксировали две координаты y=z=0 и для простоты оставили только оси
OT и OX. Например линия OA означает, что частица покоится в данной системе отсчета, а желтая OBA - частица движется по оси Х, затем мгновенно разворачивается в точке B и возвращается в точку A с координатами x=y=z=0 . Но понятно, что длина отрезка на графике OA другая , чем OBA . Удивление может вызвать то, что OA длиннее , чем OBA , но это и есть особенность приставки ПСЕВДО. Таким образом собственное время частицы 1 больше , чем частицы 2, когда они встретились. Аналогично, частица 4 это просто фотон, который движется со скоростью света, частица 3 - движение с ускорением. А частица 5 - это скорее всего тахион, они не обнаружены.
Переход в другую Инерциальную Систему Отсчета – это поворот на фиксированный угол в плоскости TX (TY или TZ). Сразу получаем Преобразование Лоренца.
И так далее.
Также же можно рассматривать ускоренные движение частиц, вращение диска, ускорение стержня и другие задачи.
Есть еще одна геометрическая характеристика 4-пространства-время: Тензор кривизны Римана и он тождественно равен нулю, R_{ijkl}=0.
Спросите, а почему же мы живем в мире с такой геометрией – так он устроен, этот мир! Эта модель не противоречит эксперименту уже 100 лет. Вся Ядерная физика и Физика элементарных частиц основана на данной геометрии и ее свойствах. Разумеется без учета гравитации.
Ссылку дам одну:
1. П.К. Рашевский. "Риманова геометрия и тензорный анализ". со стр. 259
