Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжим предыдущую статью, в которой я обещал рассказать как можно строго математически получить из последовательности 1-1+1-1+1-1... конкретное числовое значение, являющееся суммой этого ряда. Как Вы уже догадались, сумма этого ряда (ряда Гранди) равна 1/2. Посмотрим, как так получается. Поехали!
Суммирование по Чезаро
Суммирование по Чезаро членов бесконечного ряда представляет собой нахождение частных средних арифметических. Давайте сразу на примере для исследуемой последовательности. В первую очередь, необходимо найти сумму первых двух, трех и т.д. членов бесконечного ряда
Теперь записываем найденные нами значения в новый бесконечный ряд:
Следующий шаг состоит в нахождении средних арифметических частичных сумм членов исходной последовательности. Звучит сложно, но на самом деле очень легко:
Теперь запишем результаты в ряд и попытаемся найти закономерность:
Для этого пришлось записать все члены нового ряда в виде 1/2+1/2n, где n - номер частичного среднего. При увеличении n второе слагаемое стремится к нулю, а значит и сама сумма исходного бесконечного ряда равна 1/2 !
Обратите внимание, сумма ряда не стремится к 1/2! Так как ряд Гранди расходящийся, его сумма по Чезаро равна 1/2. Это ключевой момент!
Еще более шокирующий результат можно получить, если сложить все натуральные числа одно за другим...
Ставьте лайк и подписывайтесь! ! ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
Мой второй канал - "Экономика не для всех". Поднимаю теоретические вопросы экономики и рынков. Никаких быстрых способов заработка и "выгодных" кредитов. Только чистое знание!
