Доброе время суток, уважаемый читатель! Меня зовут Владимир. На моем канале Вы найдете различные тесты, опыты и разборы задач разного уровня сложности по физике и математике.
Недавно мне попалась на глаза одна интересная задача из ЕГЭ. Суть её заключается в следующем:
Нужно найти все пары натуральных чисел m и n разной чётности (причём n<m), которые удовлетворяют равенству 1/m+1/n=1/6
Вот такая задача на сообразительность. Из большого числа вариантов решения нам нужно выбрать только определенные.
*Прежде чем посмотреть решение, обязательно попробуйте найти ответ самостоятельно.
А теперь перейдем к разбору задачи.
Первым шагом нам нужно привести левую часть уравнения к общему знаменателю. В итоге получаем:
*Если Вы забыли, как складывать дроби с разными знаменателями, то рекомендую посмотреть видео ниже:
(m+n)/(m*n)=1/6
Для удобства используем свойство пропорции (a/b=c/d => a*d=b*c) и переписываем наше уравнение:
6*(m+n)=m*n
Перенесём m*n в левую часть уравнения:
6*(m+n)-m*n=0
Теперь сгруппируем слагаемые с n и вынесем его за скобки:
n*(6-m)+6m=0
Для придания уравнению симметричного вида относительно неизвестных n и m, прибавим к левой части уравнения число 36 и вычтем его:
n*(6-m)+6m+36-36=0
Далее перенесём число 36 в правую часть уравнения и сгруппируем остальные слагаемые:
n*(6-m)+6*(m-6)=-36
n*(6-m)-6*(6-m)=-36
(n-6)(6-m)=-36
(n-6)(m-6)=36
Таким образом, мы получили в левой части уравнения произведение двух множителей n-6 и m-6.
Теперь возникает логичный вопрос:
Какой будет допустимый диапазон значений n и m?
Для ответа на вопрос нужно вспомнить, что по условию задачи n и m натуральные числа. То есть целые числа, которые начинаются с числа 1. Если мы рассмотрим диапазон значений n и m от 1 до 6, то увидим, что произведение скобок в левой части уравнения не даст нам числа 36, так как перемножаемые числа по модулю будут максимум 5.
Получается, что допустимый диапазон значений: n, m>6. Также нужно помнить, что по условию задачи n и m должны быть разной чётности. Для упрощения дальнейших выкладок обозначим n-6=x и m-6=y. Получаем следующее уравнение:
x*y=36
Так как допустимый диапазон значений n, m>6, то x, y>0. Кроме того, x и y будут натуральными числами с разной чётностью. Так как n<m по условию задачи, то x<y. В итоге, из всех возможных вариантов решений остаются следующие:
1) x=1, y=36 => n=7, m=42
2) x=3, y=12 => n=9, m=18
3) x=4, y=9 => n=10, m=15
Благодарю Вас за внимание! Будет здорово, если Вы поделись ссылкой на мой канал со знакомыми школьниками и всеми кому интересны точные науки. Не забудьте, пожалуйста, поставить лайк, благодаря которому статью увидят больше людей. Подписаться на канал можно тут.
