Давайте обсудим диковатый, но забавный проект, основанный на свойствах параболы. Возьмем круглый бассейн ртути, закрутим его с постоянной угловой скоростью; поверхность ртути примет искривленную форму — параболоида вращения, это первое свойство. У него есть фокус, в который можно поместить детектор; параллельный пучок лучей, отразившись от поверхности ртути, соберется в фокусе — это второе свойство (здесь доказательство). Получится телескоп-рефлектор, дешево и эффективно. И фокусное расстояние легко менять, меняя скорость вращения.
Заодно можно поплавать на плоту из железных ломов и утопить пару урановых. Это юмор.
Свойства параболоида вращения следуют из свойств параболы, закручиванием которой его получили. Парабола имеет уравнение
x²=2pz,
где p — параметр, а фокус имеет координаты (0, p/2), причем 0.5p и есть фокусное расстояние.
Давайте докажем, что поверхность равномерно вращающейся жидкости в равновесии имеет форму параболоида.
Поверхность искривлена, в силу симметрии достаточно знать подъем уровня z на расстоянии x от центра симметрии. Представим поверхность в виде маленьких ступенек: на расстоянии x это z, а соседняя на расстоянии x+dx и поднята на z+dz. Давление (а значит, и сила, и ускорение) второй на первую пропорционально dz по формулам школьной физики, то есть, пропорционально производной z'. Компенсирует это ускорение другое ускорение: центростремительное. Оно выражается через угловую скорость w формулой w²x. Ускорения равны по условию, то есть dz~xdx, где значок ~ означает "пропорционально". Отсюда z~x² — вот вам и парабола.
Давайте поподробнее про школьные формулы. Давление одной ступеньки на другую ρgdz, где ρ — это плотность, а g — ускорение свободного падения. Площадь контакта столбиков-ступенек какая-то S. Сила есть давление, умноженное на площадь, к которому оно приложено, а по закону Паскаля приложено оно туда, куда надо. Получаем силу ρgSdz, действующую со стороны высокой ступеньки на низкую. Ускорение, по второму закону Ньютона, это сила, деленная на массу. Масса ρSdx ступеньки — это плотность ρ, умноженная на объем Sdx, который равен площади контакта S, умноженной на протяженность ступеньки, которая равна dx. В итоге у нас сокращается плотность и площадь контакта, остается ускорение gdz/dx и уравнение gdz=w²xdx. Теперь мы можем выразить параметр, а с ним и фокусное расстояние, через угловую скорость и ускорение свободного падения.
Уравнение имеет вид x²=2(g/w²)z, то есть p=g/w². Если мы хотим p, допустим, два метра, то w²~5, то есть скорость вращения порядка 2 с небольшим радиан в секунду. В обороте 2π радиан, что чуть больше 6. То есть в оборотах это где-то оборот за три с чем-о секунды. Вполне неспешное вращение.
Что приятно, от размеров бассейна скорость не зависит.
Чего и вам желаю! До встречи.
