Задание 16. Часть 1. ОКРУЖНОСТЬ и касательная

Сегодня рассмотрим задачки из первой части связанные с окружностью и касательной. Есть в этом задании еще другие типы задач на окружности, их посмотрим в следующих статьях.

При решении пользуются двумя основными теоремами.

ТЕОРЕМА Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, опущенному в точку касания

ТЕОРЕМА Отрезки касательных к окружности проведенные из одной точки равны и составляют равные углы с прямой проходящей через эту точку и центр окружности

Переходим к решению задач

№1

Рисунок к задаче

Построим радиус в точку касания ОВ. По теореме он будет перпендикулярен АВ.

Значит получили прямоугольный треугольник АОВ, откуда найдем ОВ по теореме Пифагора.

№2

Рисунок к задаче

Отметим на рисунке, что ОК=ОМ, т.к. это радиусы одной окружности, угол между хордой и касательной 83 градуса, а также угол между ОК и касательной 90 градусов (ОК - радиус проведенный в точку касания):

Из рисунка видно:

Отметим равные углы красным цветом:

Из рисунка видно, что "красный" угол равен разности угла между касательной и радиусом и угла между касательной и хордой:

№3

рисунок к задаче

ОВ - радиус проведенный в точку касания. Значит он образует с касательной угол 90 градусов. Отметим это на рисунке. Обозначим также все известные линейные размеры.

Теперь из треугольника ОВА найдем ОА как гипотенузу.

ОА состоит из двух отрезков: OD и AD. OD - это радиус, а значит он равен ОВ. А вот AD найдем тогда как неизвестное слагаемое:

№4

рисунок к задаче

У выпуклого четырехугольника сумма углов равна 360 градусов. У полученного на рисунке четырехугольника два угла по 90 градусов (угол А и угол В).

Значит угол АОВ и угол АСВ в сумме дают 360-(90+90)=180 градусов. Откуда найдем угол АОВ:

Рассмотрим теперь треугольник АОВ:

№5

рисунок к задаче

Построим радиусы в точку касания. А также соединим точки А и О отрезком АО.

Угол ОАВ получается равен половине угла САВ или 30 градусов.

А треугольник ОВА прямоугольный с острым углом 30 градусов. В прямоугольном треугольнике против угла 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы (тема 7 класса).

ОВ - катет, лежащий против угла 30 градусов. ОА - гипотенуза. Значит:

ОВ - радиус. Значит ОТВЕТ: 4

На этом пока всё. ПРОДОЛЖЕНИЕ СЛЕДУЕТ......

Так что подписывайтесь на канал и не забудьте поставить лайк, мне будет очень приятно :) СПАСИБО