Квадратные корни известны человечеству с древнейших времён. Одно из первых упоминаний квадратных корней было обнаружено на глиняных табличках при раскопке Вавилона. Оно датируется возрастом более 5000 лет. При этом самым известным из корней, если такой эпитет применим к квадратным корням, конечно, является корень из двух. Корень квадратный из двух одна из самых фундаментальных констант мироздания. Его можно обнаружить в любых естественных науках и в повседневной жизни в самых неожиданных местах. Например про то, что соотношение сторон стандартных листов бумаги форматов А0, А1, А2, А3, А4 … равно пропорции 1: v2 знают многие, а вот то что номиналы монет в кошельках граждан большинства стран мира также связаны с корнями квадратными менее афишируемый факт. Тем не менее, такая связь есть, и мы постараемся найти объяснение этим и многим другим свойствам квадратных корней, в том числе поищем, что связывает их друг с другом.
Геометрическая интерпретация квадратных корней со времён Пифагора представляется в виде диагонали квадрата и теоретически обосновывается одноимённой теоремой о квадрате гипотенузы. Не оспаривая это утверждение в целом, хочется предложить для рассмотрения свойств квадратных корней более универсальное геометрическое построение, которое позволит нам лучше понять их природу и «магическую» связь друг с другом и с окружающим нас миром. Для начала возьмём отрезок произвольной длины и разделим его пополам на две равные части, или на два единичных отрезка. Например, вот так.
Построим перпендикуляр |a| из начала этого отрезка.
Гипотенуза С1, соединяющая катеты |a| правильного прямоугольного треугольника, равна корню квадратному из двух. Гипотенуза С2, соединяющая катеты |a| и |2a| второго, неправильного, прямоугольного треугольника, равна корню квадратному из пяти. Эти значения длин гипотенуз легко вычисляются по теореме Пифагора. Если мы продолжим откладывать единичные отрезки по горизонтальной оси и соединять их гипотенузами с вертикальным единичным отрезком, то у нас получится ряд из прямоугольных треугольников с общим единичным катетом. Назовём такие треугольники единичными. В этом случае индекс гипотенузы каждого единичного треугольника на рисунке будет соответствовать длине большего катета в единичных отрезках.
Для произвольного n-го отрезка длина гипотенузы единичного прямоугольного треугольника в общем виде может быть представлена как:
Это явно вытекает из теоремы Пифагора. Если представленное геометрическое построение табулировать, то получится последовательность, состоящая из сумм квадратов натуральных чисел с единицей.
Как вы, наверное, уже заметили, каждый последующий элемент второй строки этой таблицы равен сумме предыдущего элемента со своим нечётным числом. В общем виде эта закономерность может быть описана следующим образом:
Представленная зависимость, отличается от классического ряда Фибоначчи только тем, что каждое последующее число этого ряда вместо суммы двух предыдущих, равно сумме предыдущего числа с предыдущим нечётным числом. Предлагается называть такой ряд нечётным рядом Фибоначчи. Если мы ещё раз обратимся к табличному представлению данных, то получим ещё одну таблицу, описывающую нечётный ряд Фибоначчи и по сути, связывающую множества натуральных и нечётных чисел с длинами гипотенуз единичных прямоугольных треугольников.
Каждая ячейка (кроме первой) третьей строки этой таблицы равна сумме предшествующих ячеек из второй и третьей строки таблицы. Таким образом, все элементы числового ряда, образованного гипотенузами единичных треугольников, связаны друг с другом нечётными числами. Скорее всего, именно этот факт лежит в основе одного из способов вычисления квадратных корней через простые сомножители. Ведь множество простых чисел является подмножеством нечётных чисел.
Продолжая знакомство с закономерностями численных значений сторон единичных прямоугольных треугольников, мы не можем не заметить, что первые четыре члена представленной последовательности совпадают с номиналами монет современной РФ (1, 2, 5, 10 рублей), а также с номиналами монет Евросоюза (1,2,5,10,20,50 евроцентов) и с номиналами денежных знаков многих других государств. У этой последовательности денежных номиналов есть строгое математическое обоснование, утверждающее, что именно такой набор номиналов является оптимальным для размена монет. Вряд ли такое совпадение можно считать случайным. Скорее всего, здесь работают некие гармонические законы природы, которые закручивают домики улиток и рукава галактик в спирали, описываемые рядами Фибоначчи. По этой же причине в пропорции золотого сечения появляется корень из 5, а в радиоэлектронике коэффициент укорочения волны обратно пропорционален корню квадратному из относительной диэлектрической проницаемости среды. Кстати, представленное геометрическое построение с единичными прямоугольными треугольниками прекрасно объясняет истинную причину пропорции 1: v2, упомянутой в начале статьи. В этом случае выбрав для формата А0 первоначальное соотношение сторон прямоугольника как единица к корню из двух, мы можем бесконечно делить пополам длинную сторону каждого листа для получения нового размера следующего формата, так как исходная пропорция сохраняется для всех прямоугольников, сформированных по этому правилу. Это очень технологично и безотходно для производителей бумаги. А с точки зрения математики ещё и красиво.
Дальнейший анализ отношений сторон единичных прямоугольных треугольников на достаточно большом диапазоне n показывает, что числовые ряды, основанные на этих пропорциях, обладают сходимостью.
Такая зеркальная симметрия пропорций свидетельствует о том, что при n стремящемся к бесконечности, длина гипотенузы единичного треугольника стремится к n. Причём скорость такой сходимости обратно пропорциональна n^2 + 1. В науке и инженерных расчётах такая зависимость получила название закона обратных квадратов, который, как правило, устанавливает обратную зависимость между некой физической величиной и квадратом расстояния, на котором эта величина действует. В качестве примера можно привести закон всемирного тяготения
или закон Кулона
Но всё-таки, самые интересные закономерности, связанные с квадратными корнями, нас ждут в геометрии. Давайте вернёмся к первоначальному построению и отложим по горизонтальной оси отрезок с длиной равной корню квадратному из n. Так вот, в этом случае у нового единичного прямоугольного треугольника с большим катетом равным корню квадратному из n длина гипотенузы окажется равной корню квадратному из n+1. Это правило работает на всём множестве натуральных N от 1 до ∞. Для более наглядной визуализации описанной закономерности на рисунке, представленном ниже, отрезки одинаковой длины обозначены одним и тем же цветом.
Т.е. все корни множества натуральных чисел, буквально, «произрастают» из одного единичного отрезка или, если угодно, имеют один гносеологический корень. Если под гносеологией понимать принципиальную познаваемость окружающего нас мира. Это значит, что в чистой теории, располагая только единичным отрезком и циркулем с линейкой, мы можем найти корень квадратный из любого натурального числа N. Для этого нам потребуется проделать описанные выше манипуляции с N-1 единичными прямоугольными треугольниками. Доказательство этого утверждения лежит на поверхности.
Наверное, все свойства квадратных корней, даже теоретически, осмыслить и описать невозможно. Тем более это неосуществимо в рамках одной статьи. Я хочу завершить сегодняшний разговор о квадратных корнях вот такими двумя рисунками. На первом из них, вокруг каждой гипотенузы для первых пяти единичных прямоугольных треугольников построены окружности. На втором, как вы сами прекрасно видите, изображена схема самого совершенного оптического прибора - глаза человека.
Схему глаза предварим небольшой выдержкой из википедии.
Наружная ось глазного яблока соединяет передний полюс F1 с задним полюсом F2. Расстояние между передним и задним полюсами глазного яблока является его наибольшим размером и равно примерно 24 мм.
Немного неожиданно, не так ли?! Но очень похоже на то, что здесь тоже «поработали» корни квадратные. А Козьма Прутков как всегда оказался прав.
