Самый волшебный объект в математике

Недавно опубликовала в телеграм канале задачу про составление магического квадрата.

Сейчас уже сложно поверить в наличие сверхъестественных сил в этих штуках. В современном мире это скорее занятная задачка, чтобы мозги плесенью не покрывались. Но несколько любопытных свойств этих квадратов долгое время привлекали внимание многих математиков древности. Решение для квадрата 3⨯3 было известно в Древнем Китае почти за две с половиной тысячи лет до н.э.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15. Сумма всех чисел 45.

Для квадрата 4⨯4 решение было найдено в Индии, оно датируется XI веком.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 34. Сумма всех чисел 136.

Этот квадрат также называют дьявольским: в нем сумма чисел по ломаным диагоналям также равна 34. Ломаная диагональ это четыре клетки, которые расположены на параллельных главной диагонали линиях(2 + 12 + 15 + 5; 1 + 11 + 6 + 16).

В XIII веке еще один китайский математики Ян Хуэя занялся проблемой построения магических квадратов высокого порядка. Ему и его ученикам удалось составить квадраты вплоть до размера 9⨯9.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 111. Сумма всех чисел 666. Вы тоже об этом подумали?

Сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 369. Сумма всех чисел 3321.

Первый найденный в Европе магический квадрат датируется 1514 годом. Он изображен на знаменитой гравюре "Меланхолия I" Дюрера, содержащая в себе дату создания.

Если мы рассмотрим последовательность сумм в магических квадратах разного размера (15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505...), то можно заметить, что они равны сумме последовательных натуральных чисел:

15 = 4 + 5 + 6
34 = 7 + 8 + 9 + 10
65 = 11 + 12 + 13 + 14 + 15

Магия? Нет, всего лишь следствие из условий, по которым квадрат построен. В начале этого ряда должна быть еще цифра 5, но квадрат 2⨯2 нельзя построить.

Когда все магические квадраты были изучены и разработаны общие принципы построения, математики стали строить нетрадиционные квадраты. Как звучит, а? Пока ваша фантазия не унесла вас слишком далеко, скажу, что эти квадраты были построены не из ряда натуральных чисел, а, например, из простых чисел. Такими были квадраты Генри Э. Дьюдени и Алланом У. Джонсоном-мл.

Несмотря на то, что эти квадраты изучены вдоль и поперек, до сих пор находятся люди, что пытаются найти там подлинную магию. Кто-то ищет золотую пропорцию, а кто-то пытается привлечь удачу в свою жизнь. Не смейтесь, когда готовила материал статьи наткнулась на описание такого способа. Существуют даже квадраты посвященные различным планетам и стихиям. Но это уже совсем другая история.

Не забывайте ставить лайки и подписываться на мой блог. Желаю всем интересных математических задач.