В остроугольном △ABC проведена биссектриса BL, на которой обозначена точка М — середина BL.
На отрезке AM отмечена точка Р такая, что ∠ВPM = ∠СBL.
Докажите, что ∠ВPС = 90°.
Указания к доказательству
1) △ABМ и △BPM подобны, значит, AM ∙ PM = BM² = LM² = MH².
2) △AМН, △LМР и △НMР подобны, значит, ∠PLM = ∠PHM.Тогда точки P, M, H и L лежат на одной окружности. (Исправлено после комментария Михаила Шмелева.)
2) △AМL и △LМР подобны, значит, ∠LAM = ∠PLM.
△AМН и △НMР подобны, значит, ∠HAM = ∠PHM.
Следовательно, ∠PLM = ∠PHM, и точки P, M, H и L лежат на одной окружности.
3) ∠PBC + ∠PHC = 180°, тогда точки B, C, H и P лежат на одной окружности и ∠ВPС = 90°.
Сложноватое получилось решение, две окружности пришлось задействовать. Предлагаю моим читателям поискать другую, более простую идею решения.
