Когда мы раскладываем функцию в ряд Фурье, мы имеем дело с синусами и косинусами. Это удобно для физиков. Но для вычислительной математики тригонометрические функции — это "дорого" и долго. Хотелось бы оперировать обычными многочленами (степенями). Оказывается, это возможно! И мостиком между миром гармоник и миром алгебраических полиномов служат полиномы Чебышева. Смотрите, как это красиво выглядит.
Если сравнить ряды Фурье и полиномы Чебышева (смотрите статьи “Ряды Фурье“ и “Полиномы Чебышева. Рекуррентные формулы.”), то можно заметить нечто общее.
Что бы с этим разобраться, давайте вспомним, что собой представляет разложение функции в ряд Фурье:
Коэффициенты cₒ, an, и bn рассчитываются по следующим формулам:
и
А полиномы Чебышева первого и второго рода можно записать следующим образом:
Здесь хочется вспомнить известную формулу косинуса и синуса двойного угла (смотрите статью “Формулы синуса и косинуса кратных углов”):
Полином Чебышева первого рода второй степени и второго рода первой степени следующие:
Важно не путать аргумент полинома Чебышева и аргумент косинуса. Например, T3(0)=0, но это соответствует не x=0x=0, а случаю, когда cosx=0 (то есть x=π/2x). При x=0 мы имеем cos(x)=1, и тогда T3(1)=T3(1)=1, что идеально совпадает с cos(3⋅0)=1. Полином Чебышева „работает“ со значением косинуса, а не с самим углом.»
Следовательно, формулу двойного угла можно записать следующим образом:
На рисунках представлены функции cos(3·x) при x принадлежащему отрезку от -π до πи T₃( cos(3·x)) на том же отрезке.
На них видно, что графики этих функций одинаковы.
Следовательно ряд Фурье можно записать следующим образом:
И коэффициенты тогда определяются следующим образом:
Сравнивая формулы коэффициентов разложения в ряды классического Фурье и записи разложения в ряды Фурье с помощью полиномов Чебышева и, учитывая, что разложение одной и той же функции, то есть соответствующие коэффициенты в обоих формах разложения должны быть равны, то мы можем записать следующие формулы:
Сравнивая формулы коэффициентов разложения в ряды классического Фурье и записи разложения в ряды Фурье с помощью полиномов Чебышева и, учитывая, что разложение одной и той же функции, то есть соответствующие коэффициенты в обоих формах разложения должны быть равны, то мы можем записать следующие формулы:
и
Если вы численно раскладываете в ряд Фурье функцию, то интегралы, стоящие слева для вычисления менее затратны, чем интегралы, стоящие в правой части.
Давайте для примера рассмотрим первую формулу. Чтобы вычислить косинус компьютер использует разложение этой функции в ряд. Обычно, это ряд Маклорена. Для косинуса он будет следующим:
Хотя данный ряд сходится на всей числовой оси, но основной недостаток данного ряда, следующий: чтобы вычислить косинус с заданной точности с увеличением модуля аргумента требуется вычислить сумму большего числа членов этого ряда. Так как при разложении в ряд требуется вычислить косинус кратных аргументов, следовательно, модуль аргумента возрастает, если он не равен нулю, то потребуется вычислить больше членов этого ряда. Значительно менее затратным будет вычисление кратных углов с помощью полиномов Чебышева, тем более они имеют рекуррентные формулы:
То есть в этом случае нам придется вычислить косинус и синус только один раз, что значительно уменьшит объем вычислений, а значит повысит скорость численного разложения функции в ряд Фурье.
До новых встреч.