В статье “Формулы синуса и косинуса кратных углов” мы доказали два утверждения:
Косинус угла nα, где n целое положительное число, можно свести определенному многочлену степени n от косинуса α
и
Синус угла nα, где n целое положительное число, можно свести к произведению синуса угла α на определенный многочлен степени n-1 от косинуса угла α
И в соответствии с этими утверждениями записали следующие два математических выражения:
Там же было отмечено, что многочлены T и U при одинаковых степенях не равны друг другу и линейно независимы.
В этой статье мы начнем рассматривать свойства этих многочленов.
Для начала давайте запишем эти многочлены так, чтобы они вычислялись не от косинуса угла α, а от x:
Многочленов первого и второго рода бесконечно много. Фактически являются двумя последовательностями многочленов.
В статье “Еще немного тригонометрии” было выведено две следующих формулы:
В двух последних выражениях, делая следующую замену:
получим:
Фактически мы получили рекуррентные формулы для полиномов Чебышева первого и второго рода соответственно. Но с помощью них можно определить бесконечное количество последовательностей, каждая из которых будет определяться многочленами. Из формул видно, что для определения многочлена n+1 степени необходимо знать многочлены n и n-1 степени. Следовательно, для определения одной единственной последовательности, определяемой данными рекуррентными формулами нам необходимо определить два первых многочлена полиномов Чебышева первого и второго рода. Чтобы их определить, давайте еще раз проанализируем таблицу, которую мы составили в статье “Формулы синуса и косинуса кратных углов”
Чтобы нам было легче анализировать, давайте сделаем во всех формулах в данной таблице следующую подстановку:
и в третьем столбце “синус” поделим все формулы на синус α. Тогда на основании вышесказанного мы запишем в втором столбце полиномы Чебышева первого рода, а третьего – полиномы Чебышева второго рода. В первом столбце будет степень полинома многочленов в данной строке таблицы.
Чтобы получить полиномы Чебышева нулевой степени, то есть содержащий только свободный член, вспомним, что синус нуля равен нулю, а косинус нуля – единица. Следовательно, наша обновленная таблица будет следующая:
Полином Чебышева второго рода пятой степени был получен с используемой соответствующей рекуррентной формулой.
Из полученной нами таблицы видно, что для полиномов Чебышева первого рода первые два первых полинома нулевой и первой степени будут 1 и x соответственно. А для полиномов Чебышева второго рода – будут 1 и 2x. Тем самым мы однозначно определили последовательности для полиномов Чебышева первого и второго рода соответственно.
В заключении хотелось бы указать, что в статье “Формулы синуса и косинуса кратных углов” в ходе доказательств вышеуказанных утверждений были выведены следующие формулы:
Делая уже знакомую нам подстановку:
получим:
Фактически мы получили альтернативную систему рекуррентных формул для нахождения полиномов Чебышева первого и второго рода. Недостатком этой системы является то, что, если нам нужны только полиномы Чебышева первого, мы должны обязательно находит полиномы Чебышева второго рода и наоборот.
На этом сегодня остановимся.
До новых встреч.
Продолжение: