Для вывода формул кратных углов воспользуемся формулой синуса и косинуса суммы двух аргументов:
и
Вывод данных формул смотрите в статье “Тригонометрические функции от суммы аргументов”
Еще нам понадобится основное тригонометрическое тождество:
Для начала найдем косинус удвоенного угла:
Выразим квадрат синуса через квадрат косинуса, используя основное тригонометрическое тождество:
Откуда:
А сейчас найдем синус двойного угла:
Теперь давайте найдем косинус трёхкратного угла:
В последнее равенство подставим найденные нами значения синуса и косинуса двойного угла:
Подставляя в последнее выражения квадрат синуса, полученное из основного тригонометрического торжества, и подведя подобные члены, получим:
Найдем синус трёхкратного угла:
Вынесем синус угла за скобку и подведем подобные члены в скобках:
Найдем косинус четырех кратного угла:
Воспользуемся, выведенными нами, формулами для синуса и косинуса трехкратного угла:
Воспользуемся формулой для квадрата синуса через квадрат косинуса:
или
Подведя подобные члены, получим:
Найдем синус четырех кратного угла:
или
Вынесем синус за скобку и раскроем внутренние скобки:
Подведя подобные члены в скобках, получим:
Найдем косинус пятикратного угла:
Подставим в последнее равенство найденные нами формулы для синуса и косинуса четырех кратного угла:
Раскроим скобки, и подставим выражения для квадрата синуса, полученное нами из основного тригонометрического тождества:
Раскрывая скобки, получим:
Подведя подобные члены, получим:
Найдем теперь синус пятикратного угла:
или
Вынесем в правой части равенства синус за скобку и раскроим внутреннюю скобку:
Подведем подобные члены в скобках:
И так можно продолжать до бесконечности.
Давайте теперь сведем полученные нами формулы косинуса и синуса кратных углов в следующую таблицу:
Анализируя таблицу, мы можем сделать два предположения:
Косинус угла nα, где n целое положительное число, можно свести определенному многочлену степени n от косинуса α
и
Синус угла nα, где n целое положительное число, можно свести к произведению синуса угла α на определенный многочлен степени n-1 от косинуса угла α
В истинности этих высказываний при n равным 2; 3; 4; и 5 мы убедились.
Теперь нам осталось убедится, что эти высказывания истины при любом целом положительном n
Для этого предположим следующее:
Пусть для угла nα будет истинными следующие выражения:
и
Покажем, что для угла (n+1)α мы получим следующие выражения:
Из таблицы также видно, что многочлены T и U при одинаковых степенях не равны и не линейны друг другу, то есть нельзя подобрать такие два действительных числа a и b, чтобы соблюдались следующие торжество:
Давайте докажем выражение для косинуса:
Подставляя принятые нами истинными выражения для синуса и косинуса для угла nα, получим:
Первое слагаемое представляет произведение многочлена n степени его аргумент. В результате получим многочлен n+1 без свободного члена.
Второе слагаемое представляет собой произведения двух многочленов от одного и того же аргументов. Один многочлен второй степени, а второй многочлен n-1 степени. Результат будет многочлен n+1 степени.
Мы получили разность двух многочленов с одинаковыми степенями. Результат будет многочлен той же степени. В нашем случае n+1. Следовательно мы можем записать следующее:
Что и требовалось доказать
Так как в двух последних равенствах левые части одинаковые, то и правые части равны:
Фактически при выведении формул косинуса кратного аргумента для конкретных n, начина n=3 мы выводили данную формулу при конкретном n в первой части данной статьи.
Теперь покажем, что выражения синуса кратного угла соблюдается при любом натуральном числе n
или
Фактически мы при выведении формул синуса кратных аргументов при конкретных n, начиная с n=3 мы выводили данную формулу.
Рассуждая так же, как мы делали для косинуса, аргумент которого равен (n+1)α, мы придем к выводу, что в скобках будет полином n степени от косинуса угла α. Тогда мы можем записать следующее:
Так как левые части двух последних Одинаковые, то и равны между собой и правые части. Тогда получим;
Или, деля на синус α, получим:
В следующих публикациях мы поговорим о некоторых свойствах этих многочленов.
До новых встреч