Известно, что любую периодическую функцию c периодом 2π радиана можно разложить на сумму гармонических колебаний:
Согласно формуле синуса от суммы углов (смотрите статью “Тригонометрические функции от суммы аргументов”) получим следующее:
Если в последнее выражение подставить следующие подстановки:
и
то можно записать следующее:
А если вспомнить одну формулу приведения тригонометрических функций:
Это означает, что любой сдвиг гармонических колебаний можно представить как сумма гармонических колебаний той же частоты, но сдвинутых на π/2 радиана, но с разными амплитудами, которые рассчитываются по приведенным выше формулам.
Следовательно наше разложение любой периодической функции можно записать следующим образом:
Коэффициенты cₒ, an, и bn рассчитываются по следующим формулам:
и
Не трудно заметить, что коэффициент сₒ есть ничто иное как среднее арифметическое значение заданной функции на интервале ее аргумента [-π; π]
Рассмотрим два примера.
Пример первый.
Прямоугольный импульс
Математически прямоугольный импульс можно записать следующей системой
Из вышесказанного ясно, что cₒдля заданной функции рано 0.5
Вычислим коэффициенты, стоящие при косинусах и синусах требуемого разложения. Так как на участке от -π до π задана двумя аналитическими формулами, то и интеграл на этом участке будет суммой интегралов соответствующих функций на соответствующих интервалах. Следовательно:
Так как аргументы синуса, при которых его значения равно нулю равны kπ где к – целое число. Значит все an равны нулю.
Так как косинус нуля равен 1 а косинус от аргументов nπ, где n целое число, то косинус равен (-1)ⁿ, то
Так как (-1)ⁿпри четном n равна 1, а при нечетном -1. Следовательно bk при четном k равно нулю, а при нечетном:
Отсюда искомое разложение будет следующим:
Рассмотрим второй пример
Пусть функция периодична с периодом от -π до π задано аналитическим выражением:
Тогда
Второй член полученного последнего выражения равен нулю, так как при nπ, при целом n синус равен нулю. Мы так же пришли к исходному интегралу со знаком минус. Следовательно:
Откуда:
Делая аналогичные выкладки, получим:
Следовательно искомое разложение будет:
или
На следующей анимации показано, как найденное разложения приближается к заданной функции e^x, начиная с разложения с 10 гармоник и кончая 100 с шагом 10 на одном периоде:
При x=0 заданная функция равна 1. С другой стороны, подставляя вместо x ноль, получим:
Откуда
Четные функции – это те функции, для которых соблюдается следующее соотношение f(x)=f(-x), для нечетных – f(-x)=-f(x). Если для функции не соблюдается ни одно это соотношение, то такая функция и не четна и не нечетна.
Можно показать, что сумма двух или более четных функций является четная функция, а сумма двух или более нечетных функции будет нечетная функция.
Кроме того, можно доказать, что среднеарифметическое значение для нечетной функции на отрезке [-a; a] всегда будет равна нулю.
Так как косинус – четная функция, то для четных функция разложение в ряд Фурье будет следующем:
А функция синус нечетная. Следовательно, для нечетной функции разложения в ряд Фурье будет следующее:
Здесь давайте вернемся к первому примеру. Там вроде мы рассматривали функцию, которая является функцией и не четной и не нечетной. Но в полученном разложении ее мы получили под знаком суммы только синусы. Правда свободный член ряда cₒ не равен нулю. Это получилось потому, если поднять ось абсцисс на 0.5 единиц, то мы получим нечетную функцию:
Хочется так же отметить, что если мы сдвинем ось ординат на π/2 единиц в права, то мы получим четную функцию:
В этом случае в разложении в ряд Фурье мы получим слагаемые, содержащие только косинусы, в чем предлагаю читателю убедиться самостоятельно.
Из вышесказанного, следует, что для некоторых функций четность-нечетность зависит от того, где находится начало отсчета на координатной плоскости. Или другими словами: четность или нечетность может соблюдаться относительно некоторой прямой, причем четность – относительно прямой параллельной оси ординат, а нечетность – параллельной оси абсцисс.
До новых встреч