Задание
Изобразите на координатной плоскости график уравнения:
Решение
Подобно формулировкам задач А-118 и А-119 в выражении уравнения использована сокращённая форма записи произведения, в данном случае состоящем из бесконечного числа множителей:
= (x² + y² – 0)·(x² + y² – 1)·(x² + y² – 2)·(x² + y² – 3)· . . .
По условию задачи всё произведение равно нулю, а это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю. В соответствии с Правилом 3(у) исходное уравнение разбивается на совокупность (объединение) бесконечного числа уравнений:
Рассмотрим сначала первое, соответствующее множителю для k = 0:
x² + y² – 0 = 0
или проще
x² + y² = 0
Сумма двух неотрицательных чисел x² и y² может быть равно нулю только в случае, если каждое из этих чисел равно нулю. Отсюда вытекает, что на координатной плоскости рассматриваемое уравнение описывает точку с координатами (0; 0).
Для остальных уравнений объединения k > 0, поэтому каждое из них можно представить в таком виде:
Это выражение описывает на плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом, равным квадратному корню из k. Таким образом, график исходного уравнения представляет собой точку (0; 0) и бесконечную совокупность концентрических окружностей:
Примечание: из-за невозможности изобразить бесконечное число окружностей на рисунке в ответе показаны только первые из них, соответствующие k = 1, … , 9.
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: