Задание
Изобразите на координатной плоскости график уравнения:
Решение
В математике заглавная греческая буква «пи» Π используется для сокращённой записи произведения однотипных сомножителей. В частности, фигурирующее в условии задачи выражение эквивалентно такому:
= (x² + y² – 1²)·(x² + y² – 2²)·(x² + y² – 3²)·(x² + y² – 4²)·(x² + y² – 5²)
В соответствии с Правилом 3(у) исходное уравнение оказывается равносильно объединению пяти, каждое из которых на плоскости описывает окружность с центром в начале координат:
Таким образом графиком уравнения из условия задачи является совокупность концентрическим окружностей с радиусами 1, 2, 3, 4 и 5.
Ответ
Комментарий
Математическая наука известна своей специфической символикой. В разобранной задаче был показан пример сокращённой записи произведения. Также весьма широко применяется аналогичный способ сокращения для суммы с использованием заглавной греческой буквы «сигма» Σ :
Легко видеть, что принципы обозначений для суммы и произведения одинаковы. Внизу под знаком Σ (или Π) пишется целочисленный параметр (здесь это i), в отношении которого осуществляется последовательный перебор значений в однотипных слагаемых (сомножителях) от минимального (i = 1) до максимального n (записывается вверху над знаком).
С помощью этих обозначений можно запросто записать представление логарифма произведения n положительных множителей как суммы логарифмов этих множителей:
В литературе сокращённая форма записи встречается довольно часто – ниже приведены несколько примеров из такого издания:
Касаткин В.Н. Информация, алгоритмы, ЭВМ: Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1991. – 192 с.
1) Сумма первых n нечётных чисел:
2) Формула для числа e (основания натуральных логарифмов) – обратите внимание, в данном случае она описывает сумму бесконечного числа слагаемых:
3) Обобщённая формула для вычисления разных типов средних:
В ней при k = 1 получается выражение для нахождения среднего арифметического n чисел. В случае k = 2 выражение даёт среднее квадратическое;
При k = 3 будет получаться среднее кубическое, а для k = –1 формула позволяет вычислить среднее гармоническое :
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь: