Через середину N медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке H. Найти отношение площади треугольника ABN к площади четырехугольника МNНС.
Решение.
Чтобы выразить площадь четырехугольника MNHC, разделим его на два треугольника – MNC и CNH. Сумма их площадей равна площади четырехугольника MNHC.
Прежде чем продолжить решение, вспомним свойство медианы, согласно которому, она делит треугольник на два равновеликих (т.е. равных по площади) треугольника.
В треугольника АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Площади треугольников АВМ и МВС равны, поскольку имеют одну высоту (ВН) и равные основания, к которым эта высота проведена (АМ=МС).
Иначе говоря, если два треугольника имеют общую вершину, и их стороны, лежащие напротив этой вершины, равны, то площади этих треугольников равны.
Вернемся к решению задачи.
Заметим, что наименьшим по площади треугольником является треугольник NBH. Поэтому через его площадь будем выражать площадь четырехугольника MNHC и площадь треугольника MNC.
Обозначим площадь треугольника NBH через «х» и найдем сколько его площадей вмещается в площади треугольника CNH. Поскольку эти треугольники имеют общую вершину N, оценим, во сколько раз ВН меньше НС. Для этого построим прямую МТ параллельную прямой АН.
По теореме Фалеса эти параллельные прямые разделят отрезок ВС на равные отрезки: ВН=НТ=ТС.
Мы видим, что треугольники NBH и CNH имеют общую вершину N, а основание первого треугольника ВН в два раза меньше основания второго треугольника НС. Поэтому, площадь треугольника CNH равна двум площадям треугольника NBH и равна 2х.
Рассмотрим площадь треугольника MNC и выразим ее через площадь, равную х. Треугольник MNC и треугольник NBC имеют общую вершину С, и их основания, лежащие напротив общей вершины С, равны (MN=NB). Следовательно, площади этих треугольников равны между собой и равны х+2х=3х.
Рассмотрим треугольник ANM и треугольник MNC. Их площади равны, поскольку они имеют общую вершину N и их основания (АМ и МС соответственно), равны между собой.
Наконец, рассмотрим площадь треугольника ABN. Мы видим, что треугольник ABNи треугольник ANMимеют общую вершину А, и основания, лежащие напротив этой вершины, равны. Поэтому, площади этих треугольников равны между собой и равны 3х.
Подведем итог вышесказанному. Площадь треугольника ABN равна 3х. Площадь четырехугольника MNHC есть сумма площадей треугольников MNC и CNH и рана 3х+2х=5х.
Таким образом, отношение площади треугольника ABN к площади четырехугольника MNHC равно 3х:5х=0,6.