Прогрессии можно решить без формул? Именно! Сейчас покажу, как.
P.S. Все задачи подобраны из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Краткая теория
Арифметическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа (шага, разности).
При этом разность может быть как положительным числом, так и отрицательным. Если он положительный, то прогрессия может выглядеть так: 2, 4, 6, 8... Если отрицательный, так: 3, 0, -3, -6...
Разбор
Тип 1: найти n-й член (амфитеатр)
Задача. В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?
Решение. В первом ряду 25, тогда во втором 25 + 3 = 28, в третьем 31, в четвертом 34, в пятом 37, в шестом 40, в седьмом 43, в восьмом 46.
Ответ: 46
Тип 2: найти сумму n первых членов (амфитеатр)
Задача. В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение. В первом ряду 16, во втором 19, в третьем 22, затем 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46.
Теперь сложим. Можно подряд, а можно удобными суммами: 16, 19 + 31 = 50, 22 + 28 = 50, 25 оставляем, 34 + 46 = 80, 37 + 43 = 80. И ещё 40. Тогда 16 + 50 + 50 + 25 + 80 + 80 + 40 = 341.
Ответ: 341.
Тип 3: найти шаг и затем n-й член (амфитеатр)
Задача. В амфитеатре 14 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в восьмом ряду 36 мест. Сколько мест в последнем (14-м) ряду?
Решение. От 5-го до 8-го ряда прошло 3 шага (5→6, 6→7, 7→8). Разница в местах: 36 − 27 = 9 мест за 3 шага. Значит, за один шаг прибавляется 9 : 3 = 3 места.
От 8-го до 14-го ряда: 6 шагов (8→9,9→10,10→11,11→12,12→13,13→14). За 6 шагов добавится 6 × 3 = 18 мест. Тогда в 14-м ряду: 36 + 18 = 54 места.
Ответ: 54
Тип 4: охлаждение/нагревание (убывающая прогрессия)
Задача. При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. Каждую минуту его температура уменьшалась на 6°. Найдите температуру через 4 минуты после начала опыта, если начальная температура была −7°.
Решение. Начальная температура (0 мин): −7°. Через 1 минуту - 7 - 6 = - 13, через 2 минуты - 13 - 6 = - 19, затем - 25 и - 31.
Ответ: −31
Тип 5: сумма нескольких первых членов (торможение, убывание)
Задача. Водитель начал торможение. За первую секунду автомобиль проехал 30 м, а за каждую следующую секунду — на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?
Решение. Первая секунда: 30 метров, вторая 26, третья 22, четвертая 18, пятая 14.
Удобные суммы: 30, 26 + 14 = 40, 22 + 18 = 40. Итого 30 + 40 + 40 = 110.
Ответ: 110
Тип 6: в ноль (остановка)
Задача. Водитель начал торможение. За первую секунду автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду — на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение. Выписываем, пока расстояние не станет нулём или меньше (остановка — когда проезжает 0 м):
Первая секунда 20, вторая 16, третья 12, четвертая 8, пятая 4, шестая 0.
Удобные суммы: 20, 16 + 4 = 20, 12 + 8 = 20. Итого: 20 + 20 + 20 = 60.
Ответ: 60
Тип 7: сумма первых n членов (разгон)
Задача. Поезд начал движение от станции. За первую секунду он прошёл 0,4 м, а за каждую следующую секунду — на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров поезд прошёл за первые 10 секунд?
Решение. Вычисляем путь за каждую секунду: первая 0,4, вторая 0,7, третья 1, потом 1,3, 1,6, 1,9, 2,2, 2,5, 2,8, 3,1.
Удобные суммы: 0,4 + 1,6 = 2, 0,7 + 1,3 = 2, 1, 1,9 + 3,1 = 5, 2,2 + 2,8 = 5, 2,5. Итого: 2 + 2 + 1 + 5 + 5 + 2,5 = 17,5.
Ответ: 17,5
💡 Лазейки
Лазейка 1: формулы
Если известен первый член прогрессии и разность, а нужно найти n-ый член, то для уменьшения времени расчётов можно воспользоваться формулой:
(n-й член) = (1-й член) + (n-1) · разность
Для нахождения суммы n первых членов прогрессии тоже есть формула:
((n-й член) + (1-й член)) : 2 · n
P.S. Формулы есть в справочных материалах к экзамену.
💡 Лазейка 2: по ситуации
Если видишь, что нужно посчитать 13 член прогрессии или сумму первых 10, то применяй формулу - это быстрее. Если же нужен 6 член или сумма первых 5, то смело считай в ручную.
✅ Самопроверка (реши самостоятельно)
Задача 1. В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 21 место, а в каждом следующем на 2 места больше. Сколько мест в одиннадцатом ряду?
Задача 2. В амфитеатре 11 рядов. В первом ряду 17 мест, а в каждом следующем на 3 места больше. Сколько всего мест?
Задача 3. В амфитеатре 16 рядов. В четвёртом ряду 23 места, в восьмом ряду 35 мест. Найдите количество мест в последнем ряду.
Задача 4. Вещество охлаждали: каждую минуту температура уменьшалась на 9°. Начальная температура −5°. Найдите температуру через 4 минуты.
Задача 5. Автомобиль при торможении за первую секунду проехал 27 м, а за каждую следующую — на 4 м меньше. Сколько метров он проехал за первые 6 секунд?
Задача 6. Автомобиль при торможении за первую секунду проехал 24 м, а за каждую следующую — на 8 м меньше. Сколько метров он проехал до полной остановки?
Задача 7. Поезд за первую секунду прошёл 0,6 м, а за каждую следующую — на 0,1 м больше. Сколько метров он прошёл за первые 7 секунд?
Ответы: 1)41; 2)352; 3)59; 4)-41; 5)102; 6)48; 7)6,3.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какой тип показался самым сложным?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
📌 Дальше — разбор задания 14:
👉 Все типы геометрической прогрессии задания 14 - [выйдет во вторник]
📌 Хотите ещё заданий первой части?
👉 Все типы уравнений задания 9 - здесь
👉 Все линейные неравенства и системы задания 13 - здесь
👉 Все квадратные неравенства задания 13 - здесь
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.