Разбираем ловушки, в которые попадают даже отличники. Поехали!
Ошибка 1: путаница с отрезками от высот в трапеции
Пример. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 13 и 16. Найдите длину основания BC.
Пусть BK и CH — высоты. AH = 13, HD = 16 => AD = AH + HD = 13 + 16 = 29.
В равнобедренной трапеции высоты отсекают равные отрезки, значит AK = HD = 16. Тогда BC = KH = AD − AK − HD = 29 − 16 − 16 = -3. Что-то не так...
В чём ловушка? В равнобедренной трапеции высоты из вершин меньшего основания действительно отсекают равные отрезки на большем. Только их нужно верно обозначить.
По теореме АK = HD => AH не может быть меньше HD => AH = 16, HD = 13. Тогда всё сходится. AD также равен 29, но AK = HD = 13. Тогда BC = KH = AD − AK − HD = 29 − 13 − 13 = 3.
Верный ответ: 3
Как избежать? Проверяйте, подходят ли взятые вами длины отрезкам по логике. Если в расчётах ушли в минус (в отрицательные числа), значит, нет.
🔥 Проверка: Решите задачу в обратном порядке, т.е. найдите AD, зная BC/ Тогда AD = AK + KH + HD = 13 + 3 + 13 = 29. Сошлось!
Где встречается: типы 28, 29, 30, 31, 35.
Ошибка 2: диагональ как биссектриса (и где именно)
Пример 1 (ромб). В ромбе ABCD угол ABC равен 80°. Найдите угол ACD.
∠B = ∠C = 80°. Диагональ AC делит угол С пополам. ∠BCA = ∠DCA = ∠C : 2 = 80° : 2 = 40°.
А вот и нет!
В чём ловушка? В ромбе равны противоположные углы, а не углы при стороне. Тогда ошибка в самом начале: углы В и С не равны.
Сумма углов при стороне BC: ∠B + ∠C = 180° => ∠C = 180° − 80° = 100°.
Диагональ AC — биссектриса угла C => ∠BCA = ∠DCA = ∠C : 2 = 100° : 2 = 50°.
Верный ответ: 50
Пример 2 (трапеция). В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 48°. Найдите угол ACD, если AC — биссектриса угла BAD.
Сумма углов при стороне СD: ∠C + ∠D = 180° => ∠C = 180° − 48° = 132°.
AC — биссектриса угла C => ∠BCA = ∠DCA = ∠C : 2 = 132° : 2 = 66°.
А вот и нет!
В чём ловушка? AC — биссектриса угла А, но не биссектриса угла С.
∠A = ∠D = 48°. AC — биссектриса ∠A => ∠BAC = ∠CAD = 48° : 2 = 24°.
В треугольнике ACD: ∠CAD = 24°, ∠D = 48° => ∠ACD = 180° − 24° − 48° = 108°.
Верный ответ: 108
Как избежать?
🔥 Всегда отмечайте на чертеже, какой угол делит диагональ.
🔥 Не путайте, где биссектриса, а где просто диагональ.
Где встречается: тип 6 (параллелограмм), типы 13-16 (ромб), тип 25 (трапеция)
Ошибка 3: средняя линия и диагональ в трапеции
Пример. Основания трапеции равны 1 и 13. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию одна из диагоналей.
Средняя линия = (1 + 13) : 2 = 7. Диагональ делит её пополам, т.е. на отрезки по 3,5. В ответ нужен больший. А это какой?...
В чём ловушка? Диагональ не делит среднюю линию пополам. Она делит её на отрезки, равные половинам оснований соответствующих треугольников.
Диагональ делит среднюю линию на отрезки, каждый из которых является средней линией треугольников ABC и ACD. Эти средние линии равны половинам оснований своих треугольников, т.е. половинам BC и AD, т.е. 0,1 и 6,5.
Верный ответ: 6,5
Как избежать?
🔥 Запомните: диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований.
🔥 Нарисуйте трапецию с диагональю и среднюю линию в ней — сразу станет очевидно визуально.
🔥 Проверка: Вычислите среднюю линию трапеции: (1 + 13) : 2 = 7. Сложите отрезки: 0,5 + 6,5 = 7 — получилась вся средняя линия. Значит, всё верно!
Где встречается: тип 34
Ошибка 4: углы при основании
Пример. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 192°. Найдите меньший угол этой трапеции.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°. Значит, 192° — это сумма углов при одном из оснований. Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны, тогда каждый из них 192° : 2 = 96°. Это ответ?
.А вот и нет!
В чём ловушка? Решение не доведено до конца. Мы нашли только больший угол, а в задаче необходимо найти меньший.
Закончим расчёты. Острый угол = 180° − 96° = 84°. Действительно, меньший.
Верный ответ: 84
Как избежать?
🔥 Помните: острый угол < 90°, тупой > 90°. Проверяйте себя!
🔥 Проверка: Сложите острый и тупой угол: 84° + 96° = 180° — сумма при боковой стороне. Сходится!
Где встречается: типы 21-24, 27
Ошибка 5: треугольник с углом 45° — какой катет брать
Пример. Диагональ равнобедренной трапеции образует с основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если основания равны 6 и 13.
BC = KH = 6. Тогда AK = HD = (AD − BC) : 2 = (13 − 6) : 2 = 3,5. Отсюда AH = AK + KH = 3,5 + 6 = 9,5.
В треугольнике ACH: ∠CAH = 45°, ∠CHA = 90° → треугольник равнобедренный => AC = AH = 9,5, но AC гипотенуза, которая не может быть равна катету.
В чём ловушка? Ошиблись в последнем шаге: в равнобедренном треугольнике сторона равны при равных углах.
Тогда AH = CH = 9,5.
Верный ответ: 9,5
Как избежать?
🔥 Всегда рисуйте чертёж и подписывайте все точки.
🔥 Если удобно — рисуйте чертёж к рассматриваемому треугольнику отдельно. Так вы точно увидите, какие стороны равны.
Где встречается: типы 30, 31, 35
Ошибка 6: радиус вписанной окружности (периметр или полупериметр)
Пример. Диагональ AC ромба ABCD равна 28, а tg∠BCA = 24/7. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам => AO = OC = AC : 2 = 28 : 2 = 14.
tg∠BCA = BO / OC = 24/7. Отсюда BO = OC · 24 : 7 = 14 · 24 : 7 = 48. Тогда BD = 2 · BO = 96.
Площадь ромба через диагонали: S = (AC · BD) / 2 = (28 · 96) / 2 = 1344.
Сторону ромба найдём из прямоугольного треугольника BOC по теореме Пифагора: BC² = BO² + OC² = 48² + 14² = 2304 + 196 = 2500 => BC = 50.
Периметр ромба P = 4 · BC = 4 · 50 = 200.
Радиус вписанной окружности: r = S : P = 1344 / 200 = 6,72.
А вот и нет!
В чём ловушка? В формуле радиуса вписанной окружности для ромба используется полупериметр, а не периметр. Ошибка на последнем шаге!
r = S : p = 1344 : 100 = 13,44.
Верный ответ: 13,44
Как избежать?
🔥 Запомните: для любого многоугольника, в который вписана окружность, радиус r = S : p, где p — полупериметр.
🔥 Проверьте себя: если радиус получился маленьким (6,72), а сторона большая (50) — скорее всего, забыли разделить на 2.
Где встречается: тип 19 (ромб).
Ошибка 7: какая диагональ меньшая в ромбе
Пример. Острый угол ромба равен 54°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
Меньшая диагональ соединяет вершины с острыми углами, значит она делит острый угол пополам. Тогда искомый угол = 54° : 2 = 27°.
А вот и нет!
В чём ловушка? Перепутали, какая диагональ меньшая. В ромбе меньшая диагональ соединяет вершины с тупыми углами, а большая — с острыми.
Меньшая диагональ соединяет вершины с тупыми углами. Значит, она делит пополам тупой угол, а не острый.
Острый угол = 54° => тупой = 180° − 54° = 126°. Меньшая диагональ делит тупой угол пополам → угол между стороной и меньшей диагональю = 126° : 2 = 63°.
Верный ответ: 63
Как избежать?
🔥 Запомните: в ромбе большая диагональ соединяет острые углы, меньшая — тупые.
🔥 Нарисуйте ромб и подпишите, где какие углы.
Где встречается: типы 14, 16
Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какая ошибка самая неочевидная?
- В каком типе 17 задания ты ошибался / ошибаешься чаще всего?
Это займёт 10 секунд, а я смогу подстроить тренажёр именно под ваши ошибки.
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — закрепить задание 15.
👉 Разбор задач на параллелограмм, ромб и квадрат - здесь.
👉 Разбор задач на ромб - здесь.
👉 Разбор задач на трапецию - здесь.
👉 Тренажёр по всем типам - [выйдет в субботу, 14 марта]
📌 Дальше — задание 16.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.