ВСЁ 17 задание за 3 статьи. Первая — здесь. Эта — вторая. Поехали!
P.S. Если хочешь сначала повторить свойства ромба — теория здесь.
Ромб: теория
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Раз ромб — частный случай параллелограмма, у него есть все его свойства:
- Противоположные стороны равны и параллельны;
- Противоположные углы равны;
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне = 180°;
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
- Биссектриса угла отсекает равнобедренный треугольник.
Площадь: S = a · h (сторона на высоту)
📌 У ромба есть и свои особые свойства:
- Все стороны равны.
- Диагонали взаимно перпендикулярны (пересекаются под прямым углом).
- Диагонали являются биссектрисами его углов.
- В ромб можно вписать окружность, если сумма противоположных сторон равна (а она всегда равна, потому что все стороны равны)
Формулы площади ромба:
- S = a · h (сторона на высоту)
- S = a² · sin α (квадрат стороны на синус угла)
- S = (d₁ · d₂) / 2 (половина произведения диагоналей)
Ромб: задачи
Тип 12: углы ромба
Тип 12. Один из углов ромба равен 35°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов при стороне ромба 180°, тогда чтобы найти один угол, нужно из 180° вычесть второй. Отсюда искомый угол = 180° - 35° = 145°.
Ответ: 145
Тип 13: угол и диагональ
Тип 13. В ромбе ABCD угол ABC равен 84°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов при стороне ромба равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠BCD = 180°. Отсюда ∠BCD = 180° - ∠ABC = 180° - 84° = 96°.
AC — диагональ ромба, значит она является биссектрисой угла ACD. Тогда ∠ACB = ∠ACD = ∠BCD : 2 = 96° : 2 = 48°.
Ответ: 48
Тип 14: угол между стороной и диагональю
Тип 14. Острый угол ромба равен 56°. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?
Судя по чертежу из банка, ∠D = 56°, а найти нужно ∠ACB.
В ромбе все стороны равны => AD = DC => треугольник ADC равнобедренный => ∠DAC = ∠DCA.
Тогда в треугольнике ACD ∠DAC + ∠DCA = 180° - ∠ADC = 180° - 56° = 124°. Тогда ∠DAC = ∠DCA = 124° : 2 = 62°.
AC — диагональ ромба, значит она является биссектрисой угла DCB. Тогда ∠DCA = ∠BCA = 62°.
Ответ: 62
Тип 15: угол между высотой и диагональю
Тип 15. Один из углов ромба равен 142°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
Судя по чертежу из банка, ∠C = 142°, а найти нужно ∠AOB.
∠A = ∠C = 142° как противоположные углы ромба. Тогда на углы B и D остается 360° - ∠A - ∠C = 360° - 142° - 142° = 76°. Углы В и D равны как противоположные углы ромба => ∠B = ∠D = 76° : 2 = 38°.
BD является биссектрисой угла В, тогда ∠ABD = ∠CBD = ∠В: 2 = 38° : 2 = 19°.
AK является высотой, значит ∠AKC = 90°.
Тогда нам известны все три угла в четырёхугольнике OBCK. Найдём четвертый. ∠BOK = 360° - ∠OBC - ∠C - ∠CKO = 360° - 19° - 142° - 90° = 109°.
∠BOK смежный с искомым. Тогда ∠AOB = 180° - ∠BOK = 180° - 109° = 71°.
Ответ: 71
Тип 16: перпендикуляр из точки пересечения диагоналей
Тип 16. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 41°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Пусть O — точка пересечения диагоналей. OK — перпендикуляр к стороне AD. ∠AOK = 41°.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, значит ∠AOD = 90°.
Рассмотрим треугольник AOK: ∠AKO = 90° (OK ⟂ AB), ∠AOK = 41°, тогда ∠OAK = 90° − 41° = 49°.
Диагональ AC является биссектрисой угла BAD. Значит, ∠A = 2∠OAK = 49° · 2 = 98°. Это тупой угол.
Нам нужен острый, а острый угол = 180° − 98° = 82°.
Ответ: 82
Тип 17: площадь ромба через периметр и угол
Тип 17. Периметр ромба равен 36, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Периметр равен 36. Все стороны ромба равны. Значит сторона = периметр : 4 = 36 : 4 = 9.
Площадь ромба можно найти по формуле: S = a² · sin α, где α — угол ромба.
S = 9² · sin 30° = 81 · 0,5 = 40,5.
Ответ: 40,5
Тип 18: высота ромба
Тип 18. Сторона ромба равна 34, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.
Угол 150° — тупой. На чертеже это, например, ∠B. Тогда острый угол, например, ∠А равен 180° − тупой угол = 180° - 150° = 30°.
AK высота, значит ABK прямоугольный треугольник. В нём угол А равен 30°. Тогда катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, т.е. BK = AB : 2 = 34 : 2 = 17.
Ответ: 17
Тип 19: ромб и вписанная окружность
Тип 19. Диагональ AC ромба ABCD равна 28, а tg∠BCA = 24/7. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам => AO = OC = AC : 2 = 28 : 2 = 14.
tg∠BCA = BO / OC = 24/7. Отсюда BO = OC · 24 : 7 = 14 · 24 : 7 = 48. Тогда BD = 2 · BO = 96.
Площадь ромба через диагонали: S = (AC · BD) / 2 = (28 · 96) / 2 = 1344.
Сторону ромба найдём из прямоугольного треугольника BOC по теореме Пифагора: BC² = BO² + OC² = 48² + 14² = 2304 + 196 = 2500 => BC = 50.
Периметр ромба P = 4 · BC = 4 · 50 = 200.
Радиус вписанной окружности: r = S / (P/2) = 1344 / 100 = 13,44.
Ответ: 13,44
Тип 20: ромб и тангенс угла
Тип 20. Диагональ AC ромба ABCD равна 10, а tg∠BCA = 0,8. Найдите площадь ромба.
AO = OC = AC : 2 = 10 : 2 = 5.
tg∠BCA = BO / OC = 0,8. Отсюда BO = OC · 0,8 = 5 · 0,8 = 4. Тогда BD = 2 · BO = 8.
Площадь ромба через диагонали: S = (AC · BD) / 2 = (10 · 8) / 2 = 40.
Ответ: 40
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
* Какой тип (12-20) оказался самым сложным?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — продолжение разбора задания 17.
👉 Разбор 1 части заданий - здесь.
👉 Разбор 3 части заданий - [выйдет в четверг]
👉 Разбор самых частых ошибок - [выйдет в пятницу]
👉 Тренажёр по всем типам - [выйдет в субботу]
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.