ВСЁ 17 задание за 3 статьи. Эта — первая. Поехали!
P.S. Если хочешь сначала повторить свойства параллелограмма и всех его видов — теория здесь.
Параллелограмм: теория
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны равны и параллельны.
- Противоположные углы равны.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне = 180°.
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Биссектриса угла отсекает равнобедренный треугольник.
Площадь: S = a · h (сторона на высоту).
Параллелограмм: задачи
Тип 1: диагонали
Тип 1. Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 22, BD = 24, AB = 3. Найдите DO.
Диагонали параллелограмма делятся пополам, тогда DO = BD : 2 = 24 : 2 = 12.
Ответ: 12
Типы 2-5: углы
Тип 2. Один из углов параллелограмма равен 74°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов при стороне параллелограмма 180°, тогда чтобы найти один угол, нужно из 180° вычесть второй. Отсюда искомый угол = 180° - 74° = 106°.
Ответ: 106
Тип 3. Один из углов параллелограмма равен 91°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов при стороне параллелограмма 180°, тогда чтобы найти один угол, нужно из 180° вычесть второй. Отсюда искомый угол = 180° - 91° = 89°.
Ответ: 89
Тип 4. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Допустим ∠CAB = 25°, ∠CAD = 30°.
Найдём угол А как сумму составляющих его углов: ∠A = 25° + 30° = 55°.
Сумма углов при стороне параллелограмма 180°, тогда ∠А +∠ В = 180°, отсюда ∠В = 180° - ∠А = 180° - 55° = 125°.
Ответ: 125
Тип 5. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Допустим ∠ABD = 50°, ∠CBD = 65°.
Найдём угол В как сумму составляющих его углов: ∠В = 50° + 65° = 115°.
Сумма углов при стороне параллелограмма 180°, тогда ∠А +∠ В = 180°, отсюда ∠А = 180° - ∠В = 180° - 115° = 65°.
Ответ: 65
Тип 6: биссектриса
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
Пусть ∠AKB = 33° (угол между биссектрисой и BC). Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник, тогда AKB равнобедренный => ∠AKB = ∠KAB = 33°.
AK — биссектриса, значит ∠KAB = ∠KAD = 33°.
Найдём угол А как сумму составляющих его углов: ∠A = ∠KAD + ∠KAB = 33° + 33° = 66°. Это острый угол.
Ответ: 66
Типы 7-8: площадь
Тип 7. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на рисунке.
Площадь = основание · высоту = (3 + 5) · 12 = 8 · 12 = 96.
Ответ: 96
Тип 8. Площадь параллелограмма равна 30, а две его стороны равны 6 и 10. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
Площадь равна произведению основания на высоту, то есть S = a · h, отсюда h = S : a.
Тогда подставим в формулу две разные стороны.
h₁ = S : a₁ = 30 : 6 = 5.
h₂ = S : a₂ = 30 : 10 = 3.
Большая = 5.
Ответ: 5
Прямоугольник: теория
Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, т.е. по сути это параллелограмм, у которого все углы = 90°.
Раз это вид параллелограмма, то он обладает всеми его свойствами: противоположные стороны равны, противоположные углы равны, диагонали точкой пересечения делятся пополам и т.д.
Однако прямоугольник обладает специфическим свойством: его диагонали равны.
Если прямоугольник вписать в окружность, то диагональ является диаметром описанной окружности.
Площадь: S = a · b (произведение сторон).
Прямоугольник: задачи
Типы 9 - 10: диагонали
Тип 9. Диагональ прямоугольника образует угол 44° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Допустим, что ∠ABO = 44°.
Диагонали прямоугольника равны => AC = BD, но также они делятся пополам точкой пересечения => AO = BO = CO = DO. Тогда треугольник AOB равнобедренный, откуда следует, что ∠OAB = ∠ABO = 44°.
Тогда в треугольнике AOB ∠AOB = 180° − ∠OAB - ∠ABO = 180° - 44° - 44° = 92°. Угол между диагоналями найдет, но он тупой, а нужен острый.
Тупой и острый углы (∠AOB и ∠BOC) смежные. Тогда ∠BOC = 180° − 92° = 88°.
Ответ: 88
Тип 10. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 5/13 . Диаметр описанной около него окружности равен 26. Найдите площадь прямоугольника.
Диаметр окружности равен диагонали, тогда AC = 26.
Допустим sin∠ACB = 5/13, тогда 5/13 = AB : AC. Отсюда AB = 5/13 · AC = 5/13 · 26 = 10.
Найдём BC как катет прямоугольного треугольнике ABC.
BC² = AC² - AB² = 26² − 10² = 676 − 100 = 576 => BC = 24.
Площадь найдём как произведение сторон: S = AB · BC = 24 · 10 = 240.
Ответ: 240
Квадрат: теория
Квадрат является прямоугольником с равными сторонами, т.е. обладает всеми свойствами прямоугольника и, следовательно, параллелограмма.
Есть формула диагонали квадрата: d = a · √2 (сторона · √2)
Квадрат: задачи
Тип 11: диагонали
Тип 11. Сторона квадрата равна 2√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Способ 1: по формуле. d = a · √2 = 2√2 · √2 = 2 · 2 = 4.
Способ 2: по теореме Пифагора.
AB = AD = 2√2. Угол А прямой, т.к. ABCD прямоугольник.
Тогда найдём BD как гипотенузу прямоугольного треугольника ABD:
BD² = AB² + AD² = (2√2)² + (2√2)² = 8 + 8 = 16. Тогда BD = 4.
Ответ: 4
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
* Какой тип (1-11) оказался самым сложным?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — продолжение разбора задания 17.
👉 Разбор 2 части заданий - здесь
👉 Разбор 3 части заданий - [выйдет в четверг]
👉 Разбор самых частых ошибок - [выйдет в пятницу]
👉 Тренажёр по всем типам - [выйдет в субботу]
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.