ВСЁ 17 задание за 3 статьи. Первая — здесь, вторая - здесь. Эта — третья. Поехали!
P.S. Если хочешь сначала повторить свойства трапеции и её видов — теория здесь.
Трапеция: теория
Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — не параллельны (боковые стороны).
Трапеция бывает произвольной, равнобедренной (боковые стороны равны) и прямоугольной (один из углов = 90°).
Свойства произвольной трапеции:
- Сумма углов, прилежащих к боковой стороне = 180°;
- Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме: m = (a + b) : 2.
Площадь: S = (a + b) : 2 · h (полусумма оснований на высоту).
Свойства равнобедренной трапеции:
- Углы при каждом основании равны;
- Диагонали равны;
- Высоты, проведённые из вершин меньшего основания, отсекают равные отрезки на большем основании;
Трапеция: задачи
Типы 21-24: углы трапеции
Тип 21. Один из углов равнобедренной трапеции равен 29°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°. Тогда ещё один угол равен 180° − 29° = 151°.
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, то есть в ней 2 угла по 29° и 2 угла по 151°.
Ответ: 151
Тип 22. Один из углов равнобедренной трапеции равен 131°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°. Тогда ещё один угол равен 180° − 131° = 49°.
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, то есть в ней 2 угла по 49° и 2 угла по 131°.
Ответ: 49
Тип 23. Один из углов прямоугольной трапеции равен 64°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°. Если один угол 90°, то ещё один угол равен 180° − 90° = 90°. Это углы при одной боковой стороне.
При другой стороне сумма также 180°. Один из углов 64°, тогда второй угол равен 180° − 64° = 116°.
Ответ: 116
Тип 24. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 196°. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°. Значит, 196° — это сумма углов при одном из оснований. Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны, тогда каждый из них 196° : 2 = 98°.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°. Тогда ещё один угол равен 180° − 98° = 82°.
Ответ: 82
Типы 25-27: углы с диагоналями
Тип 25. В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 52°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны: ∠A = ∠D = 52°.
AC — биссектриса угла BAD, значит ∠BAC = ∠CAD = 52° : 2 = 26°.
В треугольнике ACD: ∠CAD = 26°, ∠D = 52°. Тогда ∠ACD = 180° − 26° − 52° = 102°.
Ответ: 102
Тип 26. В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 69°. Диагональ AC образует со стороной AB угол 25°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?
В равнобедренной трапеции ∠A = ∠D = 69°.
Угол между диагональю AC и стороной AB = 25°. Тогда ∠BAC = 25°.
Меньшее основание — BC. Угол между диагональю AC и BC — это угол ACB.
Рассмотрим треугольник ABC: ∠BAC = 25°, ∠ABC = ∠B = 180° − 69° = 111° (углы при боковой стороне). Тогда ∠ACB = 180° − 25° − 111° = 44°.
Ответ: 44
Тип 27. Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 28° и 82°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
Пусть диагональ AC образует со стороной AB угол 28°, т.е. ∠BAC = 28°, а со стороной CD — 82°, т.е. ∠ACD = 82°.
Поскольку AD∥BC (основания трапеции параллельны), то углы ∠BCA и ∠CAD являются накрест лежащими углами при секущей AC. Обозначим, ∠BCA = ∠CAD = x.
Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Тогда ∠ABC = 180° − ∠BAC − ∠BCA = 180°− 28°− x = 152° − x.
В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Значит, ∠ABC = ∠BCD = 152° − x.
Угол ∠BCD состоит из двух частей: ∠BCA и ∠ACD. То есть ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = x + 82°.
Приравниваем два выражения для ∠BCD: 152° − x = x + 82°. Отсюда 2x = 70, т.е. x = 35.
∠BAD состоит из двух частей: ∠BAC и ∠CAD. То есть ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 28° + 35° = 63°.
Ответ: 63
Типв 28-29: отрезки, отсекаемые высотой
Тип 28. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 11 и 14. Найдите длину основания BC.
Пусть ВК и СН — высоты трапеции, AH = 14, HD = 11. Тогда AD = AH + HD = 14 + 11 = 25.
В равнобедренной трапеции высоты, проведённые из вершин меньшего основания, отсекают равные отрезки на большем основании => AK = HD = 11.
BK = CH как высоты трапеции, они перпендикулярны одним и тем же отрезкам (AD и BC), следовательно, параллельны между собой. Тогда KBCH параллелограмм, так как в нём две стороны равны и параллельны. В параллелограмме противоположные стороны равны => КН = BC.
Тогда, BC = HK = AD − AK − HD = 25 − 11 − 11 = 3.
Ответ: 3
Тип 29. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 6. Найдите меньшее основание трапеции.
Большее основание AD = 4 + 6 = 10.
В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами, равны. Значит, AК = НD = 4.
Тогда меньшее основание BC = HK = AD − AК − HD = 10 − 4 − 4 = 2.
Ответ: 2
Тип 30: большее основание через высоту и угол
Тип 30. В равнобедренной трапеции известны высота (5), меньшее основание (6) и угол при основании (45°). Найдите большее основание.
В равнобедренной трапеции высота отсекает прямоугольный треугольник с углом 45°. Значит, этот треугольник равнобедренный, и отрезок, отсекаемый высотой, равен высоте, т.е. AK = KB = 5. Тогда AK = HD = 5.
Тогда большее основание AD = AK + KH + HD = 5 + 6 + 5 = 16.
Ответ: 16
Типы 31-32: площадь трапеции
Тип 31. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.
BC = KH = 4. Тогда AK = HD = (AD - KH) : 2 = (8 - 4) : 2 = 4 : 2 = 2.
В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABK катеты равны, значит AK = KB = 2.
Площадь: S = (a + b) : 2 · h = (4 + 8) : 2 · 2 = 12.
Ответ: 12
Тип 32. Основания трапеции равны 7 и 19, а высота равна 6. Найдите площадь этой трапеции.
S = (7 + 19) : 2 · 6 = 26 : 2 · 6 = 13 · 6 = 78.
Ответ: 78
Тип 33: средняя линия
Тип 33. Основания трапеции равны 5 и 11, а высота равна 7. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Средняя линия m = (a + b) : 2 = (5 + 11) : 2 = 16 : 2 = 8.
Ответ: 8
Тип 34: отрезки средней линии
Тип 34. Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Диагональ делит среднюю линию на отрезки, каждый из которых является средней линией треугольников ABC и ACD. Эти средние линии равны половинам оснований своих треугольников, т.е. половинам BC и AD, т.е. 0,5 и 9,5.
Ответ: 9,5
Тип 35: диагональ и угол 45°
Тип 35. Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 9.
BC = KH = 4. Тогда AK = HD = (AD - KH) : 2 = (9 - 4) : 2 = 5 : 2 = 2,5.
Рассмотрим треугольник ACH: ∠CAH = 45°, ∠CHA = 90° (CH — высота). Значит, ∠ACH = 45°. Тогда треугольник ACH — прямоугольный и равнобедренный, поэтому катеты равны: CH = AH = AK + KH = 4 + 2,5 = 6,5.
.Ответ: 6,5
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
* Какой тип (21-35) оказался самым сложным?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — продолжение разбора задания 17.
👉 Разбор 1 части заданий - здесь.
👉 Разбор 2 части заданий - здесь.
👉 Разбор самых частых ошибок - [выйдет в пятницу]
👉 Тренажёр по всем типам - [выйдет в субботу]
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.