На канале в рубрике «Школьные задачи» опубликованы две серии заданий по алгебре, где рассматривается построение графиков уравнений вида f(y) = f(x) и f(y)·f(x) = k (в качестве k чаще встречается ноль, но не только). Данные упражнения сравнительно простые, хотя некоторое «спотыкание» у учащихся могут вызвать задачи, где фигурируют обычно не рассматриваемые в школьном курсе функции типа сигнума sgn t (знак числа t), но при формулировании таких заданий обязательно даются разъяснения, позволяющие с решением справиться. Если же окинуть взглядом получающиеся в итоге картинки (графики), то неизбежно становятся заметны некоторые общности в их виде, хотя в силу того, что рассматриваются самые разные функции, единых черт на самом деле совсем немного, тем не менее их стоит кратко описать.
Одна группа упражнений – f(y) = f(x) – представлена следующими задачами (в порядке нарастания сложности):
А-16, А-83, А-82, А-81, А-80, А-10, А-26, А-79, А-29, А-30, А-78, А-77, А-76
Другая ( f(y)·f(x) = k ) содержит такие задания:
А-84, А-85, А-86, А-87, А-88, А-89, А‑90, А‑91, А-92, А-93, А-95, А-96, А-97, А-98, А-99, А-100
Первое общее, что может броситься в глаза – графики уравнений в массе
своей довольно унылы – это всего лишь небольшое число прямых линий или
их частей. Причина этого заключена, как мне кажется, в самой простоте
вида уравнений (рис. 1, 2).
Исключения, которые «унылыми» назвать уже сложнее, имеются, причём в достатке – это, прежде всего, уравнения с сигнумом и антье (целой частью числа), описывающие на плоскости не отдельные линии, а целые области (рис. 3, 4).
Кроме того, выделяются и уравнения, содержащие тригонометрические функции и функцию дробной части числа – в силу своей периодичности они описывают совокупности бесконечного числа прямых линий, в том числе – совокупности, образующие на плоскости «сетки», и являются, на мой взгляд, интересными примерами, дополняющими опубликованную ранее заметку (рис. 5, 6).
Таким образом, первое сформулированное обобщение не является универсальным, более того – можно легко подобрать функции для уравнения вида f(y)·f(x) = k , график которого содержит действительно кривые линии. В качестве подтверждающего это примера, не рассматривавшегося в виде отдельно опубликованного разбора задачи можно привести уравнение
|y|·|x| = 1
Вид этого равенства исключает из множества решений уравнения такие, где x=0 или y = 0, но благодаря этому становится допустимо следующее равносильное преобразование:
|y|·|x| = 1 ⇔ |y| = 1 / |x| (x ≠ 0, y ≠ 0)
Строится график такого уравнения довольно просто (рис. 7): берём график функции y = 1/x (а он представляет собой гиперболу), отражаем симметрично оси абсцисс в верхнюю полуплоскость его часть, находящуюся в третьем квадранте – при этом получается график функции y = 1/|x| , а затем то, что получилось, дублируем, отражая уже из верхней полуплоскости в нижнюю симметрично горизонтальной координатной оси (см. комментарий к заданию А-25).
Второй и на этот раз действительно общей особенностью графиков является их симметрия относительно линии y = x (а в отдельных случаях ещё и относительно y = –x). Любопытно, что для уравнения f(y)·f(x) = k симметрия эта склонна нарушаться для многих функций, если выбрать k отличным от нуля или единицы, однако на антье, судя по обсуждаемым задачам, это не распространяется (рис. 8), как и на вариант sgn y · sgn x = –1 (рис. 9).
Заканчивая заметку, остаётся лишь отметить, что описанное выше –
просто наблюдение для подытоживания результатов рассматриваемых серий
задач, без попытки сделать какие-либо далеко идущие выводы.
Сведения о новых статьях блога выкладываются в Telegram: Shuric_Himik
НОВОСТИ КАНАЛА
Количество разборов решений заданий по алгебре, выложенных на канале, достигло сотни и планируется их дальнейшее увеличение. Чтобы сделать публикацию «Школьные задачи / Алгебра» менее громоздкой, из неё будут постепенно убраны тексты упражнений, но доступ к ним всё равно останется в виде ссылок в имеющемся там же перечне тематических серий задач.
Кроме этого, темп опубликования новых заметок на канале будет несколько снижен – до «три статьи за две недели». Говорить о возврате к типовому режиму «одна публикация в неделю» пока рано – мне не хочется слишком затягивать процесс выкладыванию имеющегося готового материала.