В разделе геометрии "Четырёхугольники" помимо связанных между собой параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата существует ещё один четырёхугольник - трапеция. Сегодня разберёмся, какие виды трапеции бывают и какими свойствами обладает каждый из них.
Произвольная трапеция
Определение
Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями, не параллельные - боковыми сторонами.
В четырёхугольнике ABCD две стороны параллельны (AD ‖ BC), а две другие не параллельны (AB и CD), следовательно, четырёхугольник ABCD по определению является трапецией с основаниями AD и BC и боковыми сторонами AB и CD.
Свойство
Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°.
Дано: ABCD - трапеция с основаниями AD и BC. Доказать: ∠A + ∠B = ∠C + ∠D = 180°.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является трапецией с основаниями AD и BC, следовательно, AD ‖ BC (по определению).
AB - секущая при этих параллельных прямых, следовательно, ∠A + ∠B = 180°, так как сумма односторонних углов равна 180°. Аналогично CD - секущая при этих параллельных прямых, следовательно, ∠C + ∠D = 180°.
Равнобедренная трапеция
Определение
Равнобедренная (равнобокая) трапеция — трапеция, боковые стороны которой равны.
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC является равнобедренной, так как её боковые стороны равны (AB = CD).
Свойство 1
Являясь видом трапеции, равнобедренная трапеция также обладает свойством, согласно которому сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°.
Свойство 2
Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны.
Дано: ABCD - равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC. Доказать: ∠A = ∠D, ∠B = ∠C.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является равнобедренной трапецией с основаниями AD и BC, следовательно, AD ‖ BC, а также AB = CD (по определению).
Проведем высоты BO и CK. Получившиеся прямоугольные треугольники ABO и CDK равны по гипотенузе и катету (AB = CD по условию, BO = CK как высоты трапеции). В равных треугольниках соответственные элементы равны, то есть ∠A = ∠D.
Согласно первому свойству трапеции, сумма углов при её боковой стороне равна 180°, тогда ∠В = 180°- ∠А, ∠С = 180°- ∠D. Учитывая, что углы A и D равны, делаем вывод, что углы В и С также равны.
Свойство 3
Диагонали равнобедренной трапеции равны.
Дано: ABCD - равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC. Доказать: AC = BD.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является равнобедренной трапецией с основаниями AD и BC, следовательно, AD ‖ BC, а также AB = CD (по определению).
Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними: AD - общая, AB = CD по условию, ∠A = ∠D как углы при основании равнобедренной трапеции). В равных треугольниках соответственные элементы равны, следовательно, AC = BD.
Прямоугольная трапеция
Определение
Прямоугольная трапеция — это трапеция, одна из боковых сторон которой перпендикулярна основаниям.
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC является прямоугольной, так как её боковая сторона AB перпендикулярна основаниям, следовательно, образуются два прямых угла (∠A = ∠B = 90°).
Свойство
Являясь видом трапеции, прямоугольная трапеция также обладает свойством, согласно которому сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°.
Средняя линия трапеции
Определение
Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC проведен отрезок MN, который является средней линией, так как делит боковые стороны пополам (AM = MB, CN = ND).
В равнобедренной трапеции средняя линия также делит боковые стороны пополам.
Согласно свойству равнобедренной трапеции, её боковые стороны равны, следовательно, равны и их половины, то есть средняя линия в равнобедренной трапеции делит её боковые стороны на две пары отрезков, равный между собой.
Свойства
Средняя линия трапеции обладает двумя свойствами:
- параллельна основаниям трапеции;
- равна полусумме оснований.
Воспользуемся чертежом.
Согласно свойствам средней линии, укажем, что AD ‖ BC ‖ MN, а также MN = (AD + BC) : 2.
Заключение
Таким образом, мы узнали, что такое трапеция, какие виды трапеции существуют и какими свойствами обладает каждый из них, а также что такое средняя линия трапециями и какими свойствами обладает она.
Отмечу, что, зная особенности видов треугольника (произвольного, прямоугольного и равнобедренного), можно по аналогии запомнить особенности видов трапеции. Подробнее об этом здесь.
Как и в трапеции, в треугольнике тоже существует средняя линия. При этом свойства средних линий трапеции и треугольника также можно запомнить по аналогии. Подробнее здесь.
Статьи на схожие темы
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал и не забудьте посмотреть следующие статьи:
Параллелограмм и его виды: все свойства
Как запомнить особенности видов трапеции и треугольника? | аналогия
Как запомнить свойства средних линий трапеции и треугольника? | аналогия
