Раздел "Четырёхугольники" содержит достаточно большой объём информации, которая необходима для решения задач. Теорию по параллелограмму, как одному из четырёхугольников, я подробно расписала в предыдущей статье цикла. Сегодня же поговорим о прямоугольнике.
Определение
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.
В четырёхугольнике ABCD попарно параллельны противоположные стороны (AB ‖ CD, BC ‖ AD), следовательно, он является параллелограммом по определению. Также в четырёхугольнике ABCD все углы прямые (∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°), следовательно, он является параллелограммом с прямыми углами, то есть прямоугольником по определению.
Таким образом, прямоугольник - это частный случай параллелограмма.
Свойства
Свойства 1-3
Прямоугольник, являясь видом параллелограмма, перенял от него все свойства, но при этом есть нюанс. Свойство "Сумма углов, прилежащих к стороне параллелограмма, составляет 180 градусов", конечно, выполняется в прямоугольнике, однако по сути вытекает из самого определения (в этой фигуре все углы прямые, тогда сумма любых двух из них всегда будет составлять 180 градусов). Однако про углы все же упомянуть стоит.
Свойство 1. Все углы прямоугольника прямые.
Также перечислим свойства, перешедшие к прямоугольнику от параллелограмма.
Свойство 2. В прямоугольнике противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Свойство 3. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Для ознакомления с доказательствами свойств 2-3 можно обратиться к предыдущей статье.
Свойство 4
Диагонали прямоугольника равны.
Дано: ABCD - прямоугольник. Доказать: AC = BD.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является прямоугольником, тогда AB ‖ CD, BC ‖ AD, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° (по определению).
Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними: AD - общая, AB = CD, ∠A = ∠D), следовательно, равны и соответственные элементы, то есть AC = BD.
Признаки
Хотя прямоугольник и является параллелограммом, его признаки отличаются от признаков параллелограмма из-за свойств фигуры.
Признак 1
Если три угла четырёхугольника прямые, то этот четырёхугольник - прямоугольник.
Дано: ABCD - четырёхугольник, ∠А = ∠B = ∠C = 90° Доказать: ABCD - прямоугольник.
Доказательство. Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Из четырёх углов неизвестен один. Найдём его, вычтя остальные из 360°. ∠D = 360° - ∠А - ∠B - ∠C = 360° - 90° - 90° - 90° = 90°.
Прямые BC и AD параллельны, так как односторонние углы А и В при секущей AB в сумме дают 180 градусов. Аналогично параллельны прямые BA и CD. Таким образом, ABCD является параллелограммом по определению. Также ABCD - параллелограмм с прямыми углами, следовательно, он является прямоугольником по определению.
Признак 2
Если один угол параллелограмма прямой, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Дано: ABCD - параллелограмм, ∠А = 90° Доказать: ABCD - прямоугольник.
Доказательство. Согласно свойству параллелограмма, сумма углов при его стороне равна 180°. Тогда ∠B = 180° - ∠А = 180° - 90° = 90°.
Согласно другому свойству параллелограмма, его противоположные углы равны, то есть ∠А = ∠С = 90°, ∠B = ∠D = 90°. Тогда ABCD - параллелограмм с прямыми углами, то есть прямоугольник по определению.
Признак 3
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Дано: ABCD - параллелограмм, AC = BD. Доказать: ABCD - прямоугольник.
Доказательство. Треугольники ABD и ACD равны по третьему признаку (по трём сторонам: AD - общая, AC = BD, AB = CD как противоположные стороны параллелограмма), следовательно, соответственные элементы равны, то есть ∠A = ∠D.
Прямые AB и CD параллельны (так как являются противоположными сторонами параллелограмма), а углы А и D - односторонние при пересечении этих прямых секущей AD, тогда ∠A + ∠D = 180°. Углы равные между собой, следовательно, каждый из них прямой. Тогда в параллелограмма есть уже два прямых угла, следовательно, ABCD - прямоугольником по второму признаку.
Заключение
Таким образом, мы узнали, что такое прямоугольник, как он связан с параллелограммом, а также какими свойствами и признаками обладает.
Если установить связь между параллелограммом и прямоугольником (один является видом другого), то, зная свойства параллелограмма, можно переносить их на прямоугольник. Таким образом проще запомнить теорию.
Статьи на схожие темы
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал и не забудьте посмотреть следующие статьи:
Параллелограмм: определение, свойства и признаки