Квадрат - это тот четырёхугольник, свойства которого не нужно запоминать, если вы знаете свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Разберёмся, как это получается.
Определение
Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы прямые.
Иначе: Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Ещё вариант: Квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.
В четырёхугольнике ABCD попарно параллельны противоположные стороны (AB ‖ CD, BC ‖ AD), следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом по определению. Также в четырёхугольнике ABCD все стороны равны (AB = BC = CD = DA) и все углы прямые (∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°), следовательно, он является параллелограммом с равными сторонами и прямыми углами, то есть квадратом по определению.
Свойства
Перечислим свойства квадрата, которые следуют из его определения.
Свойство 1. Все стороны квадрата равны.
Свойство 2. Все углы квадрата прямые.
Квадрат является частным случаем параллелограмма, а также ромба и прямоугольника. Таким образом, он обладает всеми свойствами этих четырехугольников.
Перечислим свойства, перешедшие от параллелограмма.
Свойство 3. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Свойство 4. Сумма углов, прилежащих к стороне квадрата, составляет 180 градусов.
Свойство параллелограмма, согласно которому в нём противоположные стороны равны и противоположные углы равны, выражается в свойствах квадрата 1-2 из определения.
От прямоугольника квадрат получил свойство 5. Диагонали квадрата равны.
От ромба: свойство 6. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
Большинство свойств прямоугольника и ромба, не специфичных для них, уже содержатся в свойствах параллелограмма. Поэтому квадрат «наследует» от прямоугольника и ромба лишь по одному уникальному свойству.
Признаки
В отличие от ромба и прямоугольника, для определения которых необходимо было выполнение каких-либо условий в четырёхугольнике или параллелограмме, чтобы установить, что фигура является квадратом, достаточно проверить выполнение определённых условий либо в прямоугольнике, либо в ромбе.
Признак 1
Если две смежные стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник - квадрат.
Дано: ABCD - прямоугольник, AB = BC. Доказать: ABCD - квадрат.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является прямоугольником, тогда AB ‖ CD, BC ‖ AD, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° (по определению).
Согласно свойству прямоугольника, его противоположные стороны равны, то есть AB = CD, BC = AD. Учитывая, что AB = BC, получим, что AB = BC = CD = DA.
Таким образом, ABCD - прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат по определению.
Признак 2
Если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то этот прямоугольник - квадрат.
Дано: ABCD - прямоугольник, AC ⊥ BD. Доказать: ABCD - квадрат.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является прямоугольником, тогда AB ‖ CD, BC ‖ AD, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° (по определению). О - точка пересечения диагоналей.
Согласно свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, тогда AO = BO = CO = DO. Также диагонали взаимно перпендикулярны (по условию), следовательно, ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°.
Треугольники AOB, BOC, COD и DOA равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними: ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°, AO = BO = CO = DO). Соответственные элементы равны, то есть AB = BC = CD = DA.
Таким образом, ABCD - прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат по определению.
Признак 3
Если один из углов ромба прямой, то этот ромб - квадрат.
Дано: ABCD - ромб, ∠A = 90°. Доказать: ABCD - квадрат.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является ромбом, тогда AB ‖ CD и BC ‖ AD, а также AB = BC = CD = DA (по определению).
Согласно свойству ромба, сумма углов при его стороне равна 180°. Тогда ∠B = 180° - ∠А = 180° - 90° = 90°. Согласно другому свойству ромба, его противоположные углы равны, то есть ∠А = ∠С = 90°, ∠B = ∠D = 90°. Тогда ABCD - ромб с прямыми углами, то есть квадрат по определению.
Признак 4
Если диагонали ромба равны, то этот ромб - квадрат.
Дано: ABCD - ромб, AC = BD. Доказать: ABCD - квадрат.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является ромбом, тогда AB ‖ CD и BC ‖ AD, а также AB = BC = CD = DA (по определению).
Согласно свойству ромба, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Учитывая, что по условию диагонали равны, получим AO = BO = CO = DO. Тогда треугольники AOB, BOC, COD и DOA - равнобедренные. Таким образом, углы при их основаниях равны.
Рассмотрим один из этих треугольников - AOB. В нём ∠AOB = 90° (по свойству ромба его диагонали взаимно перпендикулярны). Тогда на сумму углов ABO и BAO приходится 180° - 90° = 90°. Эти углы равны между собой, следовательно, на каждый приходится 90° : 2 = 45°. Аналогично в треугольниках BOC, COD и DOA углы при основаниях равны по 45°.
Тогда ∠A = ∠BAO + ∠DAO = 45° + 45° = 90°. Аналогично ∠B = ∠C = ∠D = 90°.
Таким образом, ABCD - ромб с прямыми углами, то есть квадрат по определению.
Заключение
Таким образом, мы узнали, что такое квадрат, какие свойства он получил от других четырёхугольников и по каким признакам можно определить, что фигура является квадратом.
Получается, зная свойства четырёхугольников, изученных перед квадратом, не нужно учить свойства квадрата - все они уже известны.
Статьи на схожие темы
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал и не забудьте посмотреть следующие статьи:
Ромб: определение, свойства и признаки
Параллелограмм: определение, свойства и признаки
Прямоугольник: определение, свойства и признаки