Продолжаем разбираться с теорией по четырёхугольникам. В предыдущих статьях рассмотрели параллелограмм и прямоугольник. Сегодня поговорим о ромбе.
Определение
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
В четырёхугольнике ABCD попарно параллельны противоположные стороны (AB ‖ CD, BC ‖ AD), следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом по определению. Также в четырёхугольнике ABCD все стороны равны (AB = BC = CD = DA), следовательно, он является параллелограммом с равными сторонами, то есть ромбом по определению.
Свойства
Свойства 1-3
Ромб - частный случай параллелограмма, следовательно, обладает всеми его свойствами.
Свойство 1. В ромбе противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Свойство 2. В ромбе диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Свойство 3. Сумма углов, прилежащих к стороне ромба, составляет 180 градусов.
С доказательствами этих свойств можно ознакомиться в статье о параллелограмме.
Свойство 4
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.
Дано: ABCD - ромб. Доказать: AC ⊥ BD, ∠ABD = ∠CBD.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является ромбом, тогда AB ‖ CD и BC ‖ AD, а также AB = BC = CD = DA (по определению). О - точка пересечения диагоналей.
Рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, так как AB = BC. Тогда BO - медиана этого треугольника, так как AO = OC (по свойству 2: диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам). Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является его биссектрисой и высотой.
BO - биссектриса, значит ∠ABD = ∠CBD. BO - высота, значит образует прямой угол AOB, то есть AC ⊥ BD.
Таким образом, мы доказали, что диагонали перпендикулярны и одна из них является биссектрисой угла. То, что BD - биссектриса угла D, а АС - биссектриса углов А и С, доказывается аналогично.
Признаки
Признак 1
Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то он является ромбом.
Дано: ABCD - параллелограмм, AB = BC. Доказать: ABCD - ромб.
Доказательство. Согласно свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, тогда AB = CD, BC = AD. Учитывая, что AB = BC, получаем, что AB = BC = CD = DA.
Таким образом, ABCD - параллелограмм с равными сторонами, то есть ромб по определению.
Признак 2
Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
Дано: ABCD - параллелограмм, AC ⊥ BD. Доказать: ABCD - ромб.
Доказательство. О - точка пересечения диагоналей. Треугольники ABO и BCO равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними: BO - общая, AO = OC как половины диагоналей параллелограмма, ∠AOB = ∠COB как прямые углы). Тогда равны и соответственные элементы, то есть AB = BC.
Таким образом, ABCD - параллелограмм, в котором две соседние стороны равны, то есть ромб по первому признаку.
Признак 3
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Дано: ABCD - параллелограмм, ∠ABD = ∠CBD . Доказать: ABCD - ромб.
Доказательство. AD ‖ BC, следовательно, накрест лежащие углы при их секущей BD равны, то есть ∠ABD = ∠CDB и ∠CBD = ∠ADB.
Рассмотрим треугольник ABD. В нём ∠ABD = ∠ADB, следовательно, этот треугольник равнобедренный. Тогда AB = AD.
Таким образом, ABCD - параллелограмм, в котором две соседние стороны равны, то есть ромб по первому признаку.
Заключение
Таким образом, мы узнали, что такое ромб, частным случаем какого четырёхугольника он является, какими свойствами обладает и по каким признакам можно его обнаружить.
Установив связь между ромбом и параллелограммом (один - вид другого), можно значительно сократить теорию, которая нужна для решения задач с ромбом, ведь большую часть свойств он перенимает от параллелограмма.
Статьи на схожие темы
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал и не забудьте посмотреть следующие статьи:
Параллелограмм: определение, свойства и признаки
Прямоугольник: определение, свойства и признаки