В восьмом классе изучается важный раздел геометрии - "Четырёхугольники", в рамках которого рассматриваются такие понятия, как параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция, доказываются их свойства и признаки. Чтобы запомнить всю эту информацию, необходимо установить связи между изучаемыми понятиями. Именно это мы и сделаем в цикле статей, посвященных четырёхугольникам.
Определение
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В четырёхугольнике ABCD попарно параллельны противоположные стороны (AB ‖ CD, BC ‖ AD), следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом по определению.
Свойства
Для более глубокого погружения в тему приведу свойства параллелограмма вместе с доказательствами. Это позволит применить знания предыдущих разделов (в частности, раздела "Треугольники"), а также даст возможность не зазубривать свойства, а понять, откуда они взялись.
Свойство 1
В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Дано: ABCD - параллелограмм. Доказать: AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является параллелограммом, тогда AB ‖ CD и BC ‖ AD (по определению).
Проведём диагональ BD, она является секущей при параллельных прямых BC и AD, значит, ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4 как накрест лежащие.
Диагональ делит параллелограмм на два треугольника - ABD и BCD, которые равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам: BD - общая сторона, ∠1 = ∠3. ∠2 = ∠4). В равных треугольниках соответственные элементы равны, тогда AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C.
Рассмотрим угол В, он равен сумме углов 1 и 2. Можем заменить углы 1 и 2 на равные им углы 3 и 4, тогда получим, что ∠B = ∠3 + ∠4. При этом ∠D = ∠3 + ∠4, следовательно, ∠B = ∠D.
Свойство 2
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Дано: ABCD - параллелограмм, О - точка пересечения диагоналей AC и BD. Доказать: AО = ОС, BO = OD.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является параллелограммом, тогда AB ‖ CD и BC ‖ AD (по определению).
BD - секущая при параллельных прямых AB и CD (при противоположных сторонах параллелограмма), следовательно, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие. Аналогично AC - секущая при параллельных прямых AB и СD, следовательно, ∠3 = ∠4. Тогда треугольники AOB и COD равны по второму признаку (по стороне и двум прилежащим углам: AB = CD как противоположные стороны параллелограмма, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4). В равных треугольниках соответственные элементы равны, следовательно, BO = OD, AO = OC.
Свойство 3
Сумма углов, прилежащих к стороне параллелограмма, составляет 180 градусов.
Дано: ABCD - параллелограмм. Доказать: ∠A + ∠B = ∠B + ∠C = ∠C + ∠D = ∠D + ∠A = 180°.
Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. Он является параллелограммом, тогда AB ‖ CD и BC ‖ AD (по определению).
AB - секущая при параллельных прямых AD и BC, следовательно, углы А и В односторонние, а сумма односторонних углов равна 180°. Аналогично BC - секущая при параллельных прямых AB и CD, следовательно, углы В и С односторонние, а сумма односторонних углов равна 180°. Аналогично для ∠C и ∠D, ∠D и ∠A, так как AC ‖ BD, AB ‖ CD.
Признаки
Признаки также рассмотрим с доказательствами.
Признак 1
Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD - четырёхугольник, AD = BC, AD ‖ BC. Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство. Проведём диагональ BD, которая является секущей при параллельных прямых AD и BC, значит, ∠2 = ∠4 как накрест лежащие.
Треугольники ABD и ВСD равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними: AD = BC по условию, BD - общая, ∠1 = ∠3), в равных треугольниках соответственные элементы равны, значит ∠2 = ∠4. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых AB и CD секущей BD, следовательно, AB ‖ CD. Таким образом, в четырёхугольнике ABCD AB ‖ CD и AD ‖ BC, следовательно, он является параллелограммом по определению.
Признак 2
Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD - четырёхугольник, AD = BC, AB = CD. Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство. Проведём диагональ BD, которая разделит четырёхугольник на два треугольника - ABD и BCD.
Эти треугольники равны по третьему признаку (по трём сторонам: AB = CD и BC = AD по условию, BD - общая), следовательно, ∠1 = ∠2, а эти углы - накрест лежащие при пересечении прямых AB и CD секущей BD, значит AB ‖ CD. Получаем, что AB = CD и AB ‖ СD, следовательно, по первому признаку ABCD - параллелограмм.
Признак 3
Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD - четырёхугольник, AO = OC, BO = OD. Доказать: ABCD - параллелограмм.
Доказательство. Рассмотрим углы. ∠AOB = ∠COD как вертикальные, ∠BOC = ∠AOD как вертикальные.
Диагонали разделили четырёхугольник на 4 треугольника. Треугольники ABO и CDO равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними: ∠BOA = ∠COD, AO = OC. BO = OD), следовательно, AB = CD. Аналогично по первому признаку равны треугольники BOC и AOD (∠BOC = ∠DOA, AO = OC, BO = OD), следовательно, BC = AD. Тогда AB = CD, BC = AD, значит ABCD - параллелограмм по второму признаку.
Заключение
Таким образом, мы узнали, что такое параллелограмм, а также доказали его свойства и признаки, которые далее будут использованы для доказательства теорем, связанных с другими четырёхугольника.
Статьи на схожие темы
Надеюсь, эта информация была вам полезна.
Подписывайтесь на мой канал и не забудьте посмотреть следующие статьи: