Эта статья на заказ. Меня попросили об этом написать. Вопрос сложный, и придётся много писать вокруг этой проблемы - исследования функций в средней школе (до введения матанализа, производных и так далее). Сейчас я предлагаю обзорную статью, чтобы просто показать, сколько подводных камней в таком простом вопросе, и почему вопрос в заголовке далеко не самый первый и важный.
Функции и смежные понятия
Начать обязательно надо с того, что больше проблем вызывает не столько исследование функций, сколько вообще понятие функции. Грубо говоря, дети не могут исследовать функции, потому что вообще не понимают, что такое функция.
Если спросить любого ученика, который выходит из кабинета математики, "что такое функция?" - он ответит что угодно, только не то, что надо. "Уравнение", "формула", "график" - это смежные понятия, но не функции. Но именно так отвечают на этот вопрос ученики.
Понятие функции довольно простое, но. Во-первых, оно опирается на понятие величины, которое тоже дети даже примерно себе не представляют. А во-вторых, даже получив чёткое определение из текста учебника, ученики спокойненько путают функции, уравнения, формулы и прочее. Я уж не говорю о таких близких понятиях, как "функция" и "функциональная связь".
Справедливости ради надо отметить, что путаются в этих понятиях и почти все взрослые. В том числе - учителя математики (хотя казалось бы?).
Исследования
Исследование функций. Исследовательские проекты. Однокоренные слова, замечаете? Исследование мира - это, наверное, основное занятие для ребёнка лет до 5-7. Он только ест, спит и познаёт. Исследует.
Вообще, исследовательский стиль мышления должны формировать в начальной школе. Не стихийный, как у дошкольника, а грамотный, постепенный, закономерный. Для этого есть куча хороших возможностей. Например, тема деления. Как очень простое обратное действие, деление идеально подходит для тренировки методов и навыков исследования.
Но нет. Исследование в делении заменяется алгоритмом. Подбор запрещается как способ мышления. В итоге получаем, что всё исследование сводится к тому, чтобы где-то у кого-то подсмотреть алгоритм этого исследования. Точно так же потом исследуем мир - по готовым алгоритмам.
Как пишем исследовательские проекты, так и исследуем функции. Да никто в школе даже не может отличить предмет исследования от объекта. И как тут исследовать функции после такого? На предмет чего их может исследовать восьмиклассник, если он не умеет исследовать в принципе?
Матанализ и исследование функций
Интересно, что вопрос возник именно об исследовании ДО введения матанализа в программу (до 10-11 класса). То есть, как бы подразумевается, что ПОСЛЕ введения матанализа исследование функций не вызывает проблемы.
Хотя казалось бы, что матанализ сложнее, чем математика 7-8 класса.
Никаких противоречий.
Дело в том, что ДО введения матанализа, а именно производных, ученик вынужден исследовать функцию, как положено - с использованием исследовательских навыков.
Но матанализ даёт ученику готовый алгоритм для исследования функций. Делай раз - бери производную. Делай два - решай уравнение f'(x)=0. Делай три - бери вторую производную f''(x)... И так далее.
Конечно, это не решает ни одну проблему. Но позволяет обойти.
Ссылки
О большинстве перечисленных проблем у меня уже есть статьи.
- Статья о функциях и смежных понятиях https://dzen.ru/a/ZuQxupSUvCO65vYW
- Статья о решении и уходе от проблем https://dzen.ru/a/aIBvmaqR3Gwyuj8w
- Исследовательские проекты https://dzen.ru/suite/1543ef67-b0d5-4dd0-a96e-d8da6dde65d7?share_to=link
- Исследование и алгоритмы https://dzen.ru/a/ZaDil3UsdAnxR-qC
- Деление как исследование https://dzen.ru/a/XXBtTkOGPwCtZkv8
Заключение
Проблемы исследования функций никуда не девается с появлением матанализа, они просто обходится.
Я описал только некоторые из них. Но даже их решить - не так то просто. А есть ещё масса проблем, не связанных напрямую с исследованиями.
Есть способы решения. Грамотно развивать исследовательский стиль мышления у ребёнка, помогать ему работать с понятиями, а не алгоритмами. Но это тяжеловато. И требует серьёзной работы от учителя в первую очередь. Но эта работа с лихвой окупится, даже если потребует всего времени в ущерб программе.