Прямые и обратные задачи
Довольно давно я написал статью о прямых и обратных задачах.
В ней я подробно рассказал о том, что в науке (в частности, математике) существуют два принципиально различных класса задач - прямые и обратные:
- Прямая задача: Имеются данные и алгоритм. Требуется выполнить алгоритм над данными и получить результат. (Данные + Алгоритм -> Результат).
- Обратная задача: Существует алгоритм и результат его работы. Требуется найти исходные данные. (Алгоритм + Результат -> Данные). ИЛИ: Есть данные и результат работы неизвестного алгоритма. Требуется найти алгоритм (Данные + Результат -> Алгоритм).
Обратные задачи существенно сложнее, чем прямые. Важный момент:
Обратные задачи решаются исключительно только подбором.
Все методы, вся сложность той же математики направлена на то, как оптимизировать, облегчить или систематизировать этот подбор, сузить границы подбора, разбить задачу на более лёгкие подзадачи и так далее. Метод Эйлера, интегрирование по частям, деление уголком - это всё попытки облегчить этот подбор.
Однако из правила подбора есть несколько исключений. Это частные случаи - конкретные обратные задачи, ответ на которые МОЖНО получить без подбора - вычислить его напрямую. По формуле или конкретному алгоритму. Например, линейное уравнение ax=b "решается" безо всякого подбора по простому алгоритму: корень=b/a, если а не 0, а если а=0, то тут два варианта: если и b=0, то ответом будет любое число, в противном случае - ни одного числа подобрать будет нельзя.
Обратные задачи в школе
В школе проходят практически только те обратные задачи, которые имеют алгоритм решения (аналитически решаемые уравнения, интегралы, деление).
Школьные "обратные задачи" - это преимущественно "исключения" с готовыми методами.
Школьная программа (особенно по математике) сознательно построена так, чтобы давать ученикам задачи, для которых существуют отработанные, "прямые" методы решения. Уравнения (линейные, квадратные, иногда кубические, биквадратные, системы), нахождение неизвестного элемента в формуле, решение треугольников и т.д. – все это обратные задачи по своей сути (известен результат и алгоритм/связь, нужно найти данные).
Но: Методы их решения (перенос слагаемых, формулы корней, теоремы синусов/косинусов, логарифмирование и т.д.) создают иллюзию прямой задачи. Ученик выполняет четкую последовательность шагов (новый "алгоритм решения"), на выходе получает ответ (исходные данные для первоначального алгоритма). Это и есть те "исключения".
Визуальное сходство и риск иллюзии
Процесс решения квадратного уравнения по формуле выглядит так же, как вычисление значения квадратного трехчлена при заданном x. И там, и там ученик выполняет последовательность арифметических операций.
Это создает ложное впечатление симметрии: Кажется, что между прямой задачей ("вычислить y(x) при x=a") и обратной ("найти x, при котором y(x)=b") лежит всего лишь небольшой шаг, и для обоих есть одинаково простые "алгоритмы решения".
Иллюзия: Ученик начинает воспринимать ВСЕ задачи как имеющие готовый рецепт ("алгоритм решения"), который нужно просто применить. Стирается фундаментальное понимание разницы в природе задач.
Почему это проблема?
Непонимание сути науки: Упускается ключевая идея – что наука (математика) развивалась именно для преодоления сложности обратных задач через создание инструментов, облегчающих подбор или дающих прямой ответ в специфических случаях.
Шок от реальных задач: При столкновении с настоящей обратной задачей, не имеющей готового рецепта (например, решить сложное трансцендентное уравнение аналитически, восстановить исходные данные по зашумленным измерениям, определить закон по экспериментальным точкам), ученик/студент оказывается беспомощен. Он ожидал "формулы" или "алгоритма решения", а их нет. Возникает фрустрация и ощущение, что "это нерешаемо", хотя задача просто требует другого подхода (численные методы, оптимизация, перебор с ограничениями, статистика).
Отсутствие навыка "подбора" (исследования): Не формируется умение систематически проверять гипотезы, сужать область поиска, оценивать правдоподобие решения – те самые навыки, которые являются основой для решения общих обратных задач.
Вывод
Школьная программа действительно фокусируется на тех "обратных задачах", которые благодаря многовековому развитию математики удалось свести к выполнению относительно прямолинейных алгоритмов ("методов решения"). Это создает сильную и потенциально вредную иллюзию, что:
- Любую обратную задачу можно решить так же прямо и просто, как прямую задачу или школьное уравнение.
- Между прямыми и обратными задачами нет принципиальной разницы в сложности и требуемых подходах.
Преодоление иллюзии требует от учителей явно:
- Подчеркивать принципиальное различие между прямой задачей (выполнение алгоритма) и обратной задачей (нахождение входа или алгоритма по выходу).
- Объяснять, что "методы решения" уравнений – это не магия, а продукт долгого развития математики для конкретных типов обратных задач.
- Давать задачи (хотя бы простые), где готового метода нет, и нужно использовать систематический подбор/перебор, чтобы показать "голую" суть обратной задачи.
- А ещё лучше - давать задачи, для которых есть готовый метод, но метод скрыть до тех пор, пока не будет выполнен систематический подбор, чтобы показать, на сколько полезна оказывается наука.
- Говорить о существовании огромного класса задач (в науке, инженерии), для которых нет аналитического решения и требуются численные методы или оптимизация – по сути, сложные формы того самого "подбора".