Сегодня расскажу вам о задачке из математического анализа. С данной задачей возникли трудности у моих учеников. Поэтому я хочу разобрать её для всех читателей. Мы порешаем теорию и немного смоделируем численные методы с помощью Python. Надеюсь, что вам будет интересно. 😉
Что мы можем заметить в самом начале? По крайней мере, мне видятся два пути начала решения. А если вы видите третий, то обязательно напишите в комментариях.
Левый способ, на мой взгляд, дает более быстрый результат. Но правым способом тоже можно дойти до конца. Разберем оба варианта.
Способ 1
Первый способ мне пришел сразу, получилось даже довольно компактное решение. Мы сначала замечаем x⋅dx и превращаем его в d(x²+1) c помощью недостающего коэффициента 1/2. Дальше получается довольно просто разобрать выражение с помощью интегрирования по частям.
Способ 2
Вторым способом начал решать мой ученик, у него не получилось дойти сразу до ответа. Дело в том, что данный способ оказался более трудоемким, но при должной внимательности можно было получить такой же результат.
Здесь идет сначала идёт интегрирование по частям, а уже потом замена переменных. В результате выражение для замены переменных получается сначала страшным, а потом потихоньку сокращается и упрощается.
Забавно, что ChatGPT считает этот способ заведомо неправильным (!). Однако, нейросети не являются серебряной пулей, они ошибаются также часто как люди. Поэтому решаем и получаем такой же ответ:
Как же проверить, правильный ли результат мы получили? Тут тоже есть три способа:
◼1. У нас сошлись два различных подхода, значит результат верный.
◼2. Мы можем взять производную от результата (первообразной) и получить исходную функцию: (F(x))' = f(x), что доказывает верность результата:
◼ 3. Численное интегрирование. На самом деле это не так уж сложно. Мы можем взять Python и с легкостью накидать программку для метода центральных прямоугольников.
Правильность численного вычисления интеграла лучше всего проверить, если мы поставим какие-нибудь пределы: например от 1 до 3. Теоретически это должно давать примерное ~6.819778. Сколько же мы получим с помощью метода прямоугольников ?
Как мы видим, метод центральных прямоугольников даёт более точный результат. Теория сошлась с практикой, значит задача решена верно.
❓ Вопрос для читателей: Почему центральные прямоугольники точнее, чем левые прямоугольники или правые прямоугольники? Обоснуйте ответ математически.
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов