🍎 Менее 10% людей решают эту математическую головоломку про яблоки

Сегодня я предлагаю вам подумать над интересной головоломкой. Её опубликовал один пользователь сети X из Японии. Задача вызвала много споров в комментариев. В большинстве случаев ответы были шуточные или некорректные. Мы же разберем задачу с точки зрения математики.

Разумеется, после прочтения условия, я предлагаю вам взять черновик и подумать самостоятельно, прежде чем листать вниз.

Задача

В интернете можно встретить несколько формулировок этой задачи:
◼ Разделить два яблока на троих человек, используя один взмах ножа.
◼ 3 человека хотят поровну разделить 2 яблока. Сделать это нужно лишь одним движением ножа.
◼ 3 человека хотят поровну разделить между собой 2 яблока. Но у них есть только 1 нож, которым, согласно условию задачи, они могут воспользоваться всего 1 раз. Что нужно сделать для того, чтобы каждый человек получил равную часть яблок?

Решение:

Сделаем некоторые наблюдения:
1. От одного яблока нам необходим отрезать 1/3 часть объема. Тогда останется 2/3 части. Проделывая такую же операцию со вторым яблоком, мы получи кусочки: 2/3, 2/3, (1/3+1/3). Получается поровну на троих человек.
2. Как корректно расположить яблоки в пространстве, чтобы использовать один взмах ножа?

Центрально-симметричное деление здесь не помогает. Сделаю рисунок, чтобы объяснить почему:

Это нам не подходит

Один взмах ножа (по условию задачи) означает, что мы можем сделать только один линейный порез.

Яблоки могут располагаться также, т.е. касаться друг друга. Значит правильный порез может проходить через точку касания яблок и на одинаковом расстоянии от их черенков. Сделаем рисунок и обозначим это расстояние через h. Попробуем найти зависимость этого расстояния от R - радиуса яблока (если приближенно считать яблоко шаром).

Теперь линия разреза нам подходит

Теперь нам остается вспомнить геометрию. Запишем, что полная площадь круга 𝝅R² соответствует полному обороту 2𝝅. Тогда площадь произвольного сектора соответствует некоторому углу φ. Из этой пропорции найдем общую формулу площади для сектора:

Теперь, чтобы вывести формулу площади сегмента, достаточно из площади сектора отнять площадь равнобедренного (две стороны равны R) треугольника с углом φ при вершине.

Площадь отрезанного сегмента от одного яблока должна быть равна 1/3 части от площади круга. Тогда можно получить уравнение относительно угла нужного угла φ.

Проблема аналитического решения этой задачи находится в этом нелинейном уравнении. Если раскладывать синус, то адекватную точность можно получить, разложив до 5-й степени угла φ.

Однако, аналитическое решение уравнений 5-й степени в общем случае - это очень сложная задача. Поэтому гораздо проще решить численными методами (подойдет даже грубый перебор, а чуть более оптимальным будет метод дихотомии). Накидаю программу на Pascal для численного решения такой задачи. Ответ сходится с точкой на графике в desmos.

Несмотря на большое количество итераций, программа считает мгновенно. Pascal - быстрый компилируемый язык программирования

Зная угол φ можно отыскать нужно смещение ножа h - расстояние линии среза от центров яблок (черенков).

Теперь стоит вопрос в том: сможем ли мы с помощью ножа (линейка без делений) отмерить h - четверть определенного расстояния (радиуса R) ? 😊🤔

В интернете есть решение, что с такой формулировкой:

«Если разрез будет производиться параллельно краю стола, яблоки должны находиться под углом приблизительно 45 градусов»

📝 Это неправильно! Линия, соединяющая центры яблок, будет располагаться под углом 15° к плоскости ножа.

Вот это корректный рисунок среза и графический ответ на задачу

Как вы видите, задача не такая уж простая.. А саму задачку мне показал друг на сайте Reddit 😊

🤔 А теперь главный вопрос: Будут ли расчеты h для площадей сечений совпадать с расчетами, при которых h будем находить из принципа равенства объемов?

Давайте проверим задачу исходя из объемных соотношений. Но для начала выведем объем сегмента шара. Срезанный участок будем разбивать на очень тонкие диски толщиной dh. Тогда их объем dV будет считаться аналогично объему цилиндра-диска: dV = 𝝅R²dh. Сделаем рисунок.

Теперь, выбрав нужные пределы, посчитаем интеграл и получим теоретическую формулу.

Верность этой формулу можно проверить, подставляя крайние значения h = 0 и h = R.

Теперь ставим такое же условие равенства объемов: объем срезанного сегмента яблока (шара) должен равняться 1/3 от полного объема яблока (шара):

Вывод:

Для плоского решения получаем срез: h ~ 26.5 % от радиуса R яблока
Для объемного решения получаем срез: h ~ 22.6 % от радиуса R яблока

Надеюсь, что вам понравилась задача 🍎😊

Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал, напишите комментарий! Вам не сложно, а мне очень приятно :)

Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK

Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в telegram