Проф. Чупрунов Е.В., заведующий кафедрой кристаллографии и экспериментальной физики физического факультета Нижегородского госуниверситета им. Н.И.Лобачевского
Важнейшими элементами физических теорий всегда считались симметрия рассматриваемых физических систем и наличие некоторых сохраняющихся (постоянных) величин – законы сохранения. В данной статье приводится популярное описание связи этих фундаментальных свойств физических систем.
Напомним сначала основные определения симметрии. Симметрия – это свойство инвариантности системы (физической, математической и пр.) по отношению к различного рода преобразованиям. Так, шестиугольник инвариантен относительно поворота на углы 600, 1200, 1800, 2400 и 3600 вокруг точки пересечения отрезков, соединяющих противоположные вершины. Аналогично Вы можете сами получить, относительно каких поворотов инвариантен правильный треугольник (рис.1).
Можно привести множество примеров симметрий физических систем. Проверить равенство объектов или частей системы относительно заданных признаков можно с помощью некоторого преобразования, которое совмещает равные объекты или части одного и того же объекта относительно заданного признака или набора признаков.
Законы сохранения описывают величины, характеризующие данную физическую систему, постоянные во времени или не изменяющиеся в разных точках пространства. Наиболее известными сохраняющимися величинами в механике являются полная механическая энергия, импульс (вектор, описывающий количество движения материальной точки или системы точек), а также момент импульса – физическая величина, аналогичная моменту силы с той лишь разницей, что в выражении для момента силы вместо вектора силы необходимо записать вектор импульса.
Cто с лишним лет назад в Геттингене на семинаре математического общества была представлена теорема, которая связывает симметрию физической системы с некоторым законом сохранения. Доказала эту теорему Эмми Нётер – одна из немногих успешных женщин-математиков, которая работала совместно с такими выдающимися математиками, как Давид Гильберт и Феликс Клейн. Эта теорема носит ее имя.
Теорему Нётер в простейшем популярном варианте можно выразить так:
законы сохранения являются следствием тех или иных симметрий физической системы.
Как известно из механики, для некоторых физических систем могут сохраняться полная механическая энергия, импульс или момент импульса. Оказалось, что закон сохранения полной механической энергии связан с одинаковостью системы в разные моменты времени (однородность времени), закон сохранения импульса – с однородностью пространства, в котором находится система (это когда все точки пространства эквивалентны друг другу), а закон сохранения момента импульса – когда пространство и система инвариантны относительно всевозможных поворотов пространства.
Рассмотрим подробно закон сохранения импульса, на примерах, хорошо известных из школьного курса физики. Возьмем простейшую механическую систему – небольшой шарик массы m, который движется в пространстве.
Если сумма всех сил, которые действуют на шарик, равна нулю, то импульс (количество движения) шарика не изменяется в процессе движения.
Это формулировка закона сохранения импульса в механике. Давайте сформулируем этот закон на языке симметрии с использованием теоремы Нётер.
Рассмотрим несколько ситуаций.
- Шарик движется в пространстве, в котором на шарик не действуют другие тела или силовые поля. Такое пространство будем называть «пустое» пространство.
В этом случае все точки такого пространства абсолютно одинаковы (неразличимы), т.е. пространство переходит в себя при любом его параллельном сдвиге. Другими словами, пространство однородно
или инвариантно относительно любого, в том числе и абсолютно малого сдвига в любом направлении. Это означает, что если наша материальная точка в какой-то момент времени движется, и ее импульс равен mv, то в любой другой момент времени (в любой другой точке пространства) этот импульс меняться не будет.
Нетрудно убедиться, что аналогичный результат мы получим, если предположим, что на шарик действуют силы, но в каждой точке пространства их векторная сумма равна нулю. Итак, одинаковость (однородность) всех точек пространства, в котором движется шарик, в соответствии с теоремой Нётер приводит к сохранению импульса шарика.
2. В пространстве имеется постоянное электрическое поле, которое создается однородно заряженной электрическим зарядом бесконечной нитью. В этом пространстве движется заряженная частица массы m.
На заряженную частицу в постоянном электрическом поле действует сила Кулона. Посмотрим, как будет меняться импульс частицы в данном случае.
Вспомним, что постоянное электрическое поле можно представить в векторном виде, задав в каждой точке вектор напряженности поля, а можно в скалярном, задав в каждой точке пространства (рис. 2) потенциал (число!) относительно какой-то выбранной точки пространства. Воспользуемся этим способом представления электрического поля.
Предположим для определенности, что заряд нити и рассматриваемой частицы положителен.
При движении заряженной частицы перпендикулярно нити в каждой точке пространства электрические силы убывают с увеличением расстояния до нити, а потенциал – возрастает. В этом направлении пространство неоднородно, и импульс в этом направлении не сохраняется.
Если же частица движется параллельно нити, то на этой траектории на частицу действует всегда одна и та же сила (значения потенциала в точках одинаковы. Пространство в этом направлении однородно и импульс в этом направлении сохраняется (рис.3).
Если частица движется произвольным образом, то вектор ее импульса можно представить в виде двух проекций. Одна сохраняется, а другая – нет, т.е. в целом импульс в этом неоднородном пространстве не сохраняется.
Еще один пример – движение материальной точки в гравитационном поле Земли после того, как ее бросили с определенной скоростью под углом к горизонту (рис.4).
Анализ, аналогичный предыдущему, показывает, что свойствами однородности пространства обладают точки, лежащие в плоскости, параллельной поверхности Земли, и компоненты импульса в любом из этих направлений сохраняются. В направлениях, перпендикулярных поверхности Земли, точки пространства не одинаковы, и данная компонента импульса не сохраняется.
Рассмотрим теперь, как работает теорема Нётер в пространстве специальной теории относительности – в пространстве Минковского. В пространстве Минковского нет разделенных времени и пространства, а имеется единый четырехмерный пространственно-временной континуум. Механическая энергия и импульс описываются в пространстве Минковского четырехмерным вектором, три компоненты которого аналогичны обычному импульсу, а четвертая компонента – механической энергии. Квадрат длины этого вектора имеет вид
Рассмотрим частицу, которая совершает одномерное движение (по прямой) со скоростью, сравнимой со скоростью света.
Для такой ситуации пространство-время Минковского двумерно – одна ось описывает координату частицы х, а другая – время в единицах ct. (рис. 5) .
В данном случае одномерного пространственного движения вектор энергии – импульса двумерен, и этот вектор сохраняется, если пространственно-временной континуум однороден. Таким образом, в однородном пространстве Минковского сохраняется величина
Здесь m0 – масса частицы.
#мининский #mininuniver #десятилетиенауки #МинобрнаукиРоссии #популяризациянауки
